Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

План урока.

1. Обобщение теоретического материала по теме «Способы решения систем

уравнений

второй

степени

с

двумя

переменными».

Проверка

домашнего

задания.

2.

Изучение

нового

материала

по

теме

«Применение

систем

уравнений

второй степени при решении задач».

3. Исследовательская работа в группах.

4. Представление аналитического решения поставленных задач.

5. Анализ результатов и выводы.

Цели урока:



познакомить

учащихся

с

применением

систем

уравнений

второй

степени

при

решении

задач;

обеспечить

овладение

основными

алгоритмическими

приемами

применения

систем

уравнений

при

решении задач; формирование умения переносить знания

в новую

ситуацию;



развивать

логиче ско е

мышление,

математиче скую

р е ч ь ,

вычислительные навыки;



формирование умения работать в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, друзья! Этот урок алгебры у Вас проведу я. Меня зовут Владимир

Владимирович Тюпин. Я учитель математики гимназии №19. (Слайд 1)

Не летите передо мной – я могу и не

последовать,

Не летите позади меня – я могу Вас не повести,

А летите рядом со мной, ощутите радость

полёта.

И будьте моими друзьями.

2. Мотивация урока.

Ещё Платон говорил: «Человек, способный к математике, изощрён во

всех науках». (Слайд 2)

Как вы понимаете это высказывание?

Таким

образом,

мы

сегодня

будем

размышлять,

искать

простые

и

красивые

решения,

развивать

логическое

мышление,

правильно

и

последовательно рассуждать, тренировать память, внимание.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На предыдущих уроках Вы изучали «Решение систем уравнений второй

степени»

Давайте

вспомним,

что

называется

решением системы уравнений?

П а р а

з н ач е н и й

п е р е м е н н ы х ,

обращающая

каждое

уравнение

системы

в

верно е

р а в е н с т в о ,

называется решением системы

Какие

способы

решения

систем

уравнений вы знаете?

Графический, подстановки, Сложения

Эти способы решения систем уравнений Вы должны были применить при

выполнении домашнего задания.

Давайте откроем рабочие тетради и начнём проверку домашнего задания с

№440(а).

Я его тоже решал, и вот что у меня получилось. Всё ли у меня получилось

верно? (Слайд 3)

Ошибочное решение:

x

2

+

y

2

=

16 ,

x

−

y

=

4 .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

(

y

−

4

)

2

+

y

2

=

16 ,

x

=

y

−

4 .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

(

y

−

4

)

2

+

y

2

=

16 ;

2 y

2

−

8 y

+

16

−

16

=

0 ;

2 y

(

y

−

4

)

=

0 ;

y

=

0, . . . . . . . . .. . . . y

=

4 ;

Данная ошибка привела к неверному решению

y

=

0,

x

=−

4 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

y

=

4,

x

=

0 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

Ответ:(0;4), (-4;0)

Верное решение: (Слайд 4)

x

2

+

y

2

=

16 ,

x

−

y

=

4 .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

(

y

+

4

)

2

+

y

2

=

16 ,

x

=

y

+

4 .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

(

y

+

4

)

2

+

y

2

=

16 ;

2 y

2

+

8 y

+

16

−

16

=

0 ;

2 y

(

y

+

4

)

=

0 ;

y

=

0, . . . . . . . . .. . . . y

=−

4 ;

y

=

0,

x

=

4 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

y

=−

4,

x

=

0;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

Ответ: (0;-4), (4;0)

Данную систему необходимо было решить и графическим способом(Слайд 5)

А, что Вы скажете о решении №448 (а)? Прав я или нет? (Слайд 6)

x

2

−

2 y

2

=

14 ,

x

2

+

2 y

2

=

18 .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

Сложим первое и второе уравнение почленно:

2 x

2

=

32 ,

x

2

+

2 y

2

=

18.

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

2 x

2

=

32 ;

x

2

=

16 ;

x

=

4, . . . . . . . . . x

=−

4 .

x

=

4,

2 y

2

=

2 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

x

=−

4,

2 y

2

=

2 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

x

=

4,

y

=

1 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

x

=

4,

y

=−

1 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

x

=−

4,

y

=

1;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

x

=−

4,

y

=−

1 .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

Ответ: (-4;-1), (-4;1), (4;-1), (4;1)

Спасибо!

Запишите в тетради сегодняшнее число 12.12.2013.

Сегодня на уроке мы начнем рассматривать решение задачи, с помощью

систем уравнений второй степени с двумя переменными. (Слайд 7)

Запишите, пожалуйста, её в тетрадях.

При решении задач используются формулы, с которыми Вы уже знакомы.

Некоторые из них давайте повторим.

Вам необходимо в кабинете найти формулу, относящуюся к тому или иному

утверждению, прикрепить на магниты её к доске и сформулировать данное

утверждение.

Давайте начнём с теоремы Пифагора

a

2

+

b

2

=

c

2

Назовите

формулы

площади

и

периметра

прямоугольника

с о

сторонам a и b.

S

=

a

⋅

b

P

=

2

(

a

+

b

)

Путь при равномерном движении со

скоростью

υ

за время t

s

=

υ

⋅

t

Как найти n% от числа а

Необходимо число а разделить на 100

и умножить на n

Масса вещества через его плотность

и объём

m

=

ρ

⋅

v

Замечательно! Часть этих формул Вы будете использовать при выполнении

самостоятельной работы в группах

4. Изучение нового материала.

Дорогие ребята! Область применения математике очень широка. Без неё не

обойтись и в естественных науках. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача.

От

вершины

прямого

угла

по

его

сторонам

начинают

одновременно

двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С

какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за

6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Итак, что спрашивается в данной задачи? (Читают)

Сколько в этом вопросе неизвестных величин?

Что нам неизвестно в задаче? (Скорости двух тел)

Как обозначим эти неизвестные величины? (Обозначим за х м/с скорость

первого тела, а у м/с скорость второго тела)

Выделите 1 ситуацию в задаче

Давайте поработаем с 1 части задачи и оформим анализ условия в виде

таблицы

Ситуация 1

Первое тело

Второе тело

Скорость

х м/с

у м/с

Время

15 с

15 с

Путь

15х м

15у м

Т.к.

тела

двигались

по

катетам

прямоугольного

треугольника,

то

расстояние между ними равное 3 м можно выразить через теорему Пифагора

Первое уравнение___

(

15 x

)

2

+

(

15 y

)

2

=

9

______________________

Выделите

2

ситуацию

в

задаче.

И

проведем

аналогичные

рассуждения,

оформив их в таблицу 2

Ситуация 2

Первое тело

Второе тело

Скорость

х м/с

у м/с

Время

6 с

8 с

Путь

6х м

8х м

Т.к. во втором случае они прошли одинаковый путь, то получим

Второе уравнение_________6х=8у________________

Составим пояснительный текст задачи.

Пусть х м/с скорость первого тела, у м/с скорость второго тела. Известно,

что за 6 с первое тело проходит такое же расстояние, что второе за 8 с.

Составим первое уравнение системы 6х=8у. Двигаясь, по сторонам прямого

угла, расстояние между ними через 15 с стало равно 3 м. Используя теорему

Пифагора

для

прямоугольного

треугольника,

получим

второе

уравнение

системы:

(

15 x

)

2

+

(

15 y

)

2

=

9.

Составим и решим систему уравнений:

225 x

2

+

225 y

2

=

9,

6 x

=

8 y .

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

не удовлетворяет

условию задачи

Ответ: 0,16 м/с, 0,12 м/с

Итак, какие этапы мы можем с Вами выделить при решении задачи на

составление системы уравнений?

Схема решения задач (Слайд 8)

1)

Анализ условия

2)

Введение неизвестных

3)

Выделения двух ситуаций

4)

Установление зависимости между данными задачи и неизвестными

5)

Составление уравнений

6)

Решение системы уравнений

7)

Запись ответа

7. Самостоятельная работа.

А теперь поработаем в группах. На столах у каждой группы в конвертах

лежит

задание.

Каждое

задание

состоит

из

двух

частей.

Вам

предстоит

решить задачу и в бланк ответа вписать составленную систему, которая

позволит

решить

задачу,

а

далее

необходимо

решить

данную

систему

и

выбрать правильный вариант ответа предложенный ниже. После чего один

представитель от каждой группы должен внести эти результаты в компьютер,

тем самым проверить правильность выполнения задания. Каждый учащийся

в группе получит отметку, зависящую от того, насколько удачно сработает его

группа.

Первая группа:

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите

стороны прямоугольника.

225

⋅

25

16

⋅

x

2

=

9;

x

2

=

16

25

2

;

x

=

4

25

,

y

=

3

4

⋅

x ,

225

⋅

x

2

+

225

⋅

9

16

⋅

x

2

=

9 ;

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

x

=−

4

25

x

=

4

25

,

y

=

3

25

.

¿

{

¿ ¿ ¿

¿

1.

Составьте

систему

уравнений

для

решения

задачи,

обозначив

переменными x и y стороны прямоугольника.

2.

Выберите правильный вариант ответ из ниже приведённых.

6 см. и 8 см. 7 см. и 7 см. 5 см. и 9 см. 4 см. и 10 см.

Вторая группа:

Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

1.

Составьте

систему

уравнений

для

решения

задачи,

обозначив

переменными x и y искомые числа..

2.

Выберите правильный вариант ответ из ниже приведённых.

12 и 7 19 и 12 7 и 2 21 и 4

Третья группа:

Периметр прямоугольника 26 см, а его площадь

42 см

2

. Найдите стороны

прямоугольника.

1.

Составьте

систему

уравнений

для

решения

задачи,

обозначив

переменными x и y стороны прямоугольника.

2.

Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

14 см и 3 см 7 см и 6 см 11 см и 2 см 21 см и 2 см

Чётвёртая группа:

Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой. Найдите стороны

прямоугольника, если его площадь равна 45

см

2

1.

Составьте

систему

уравнений

для

решения

задачи,

обозначив

переменными x и y стороны прямоугольников.

2.

Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

13 см и 9 см 15 см и 3 см 22,5 см и 2 см 9 см и 5 см

7 Результаты самостоятельной работы

8. Домашнее задание. Подведение итогов урока. (Слайд 9)

Выучить п.20. Решить № 458, 461, 466.

Рефлексия:

Рефлексия.

1)

Комфортно ли Вам было сегодня на уроке?

Мне тоже, потому что я старался лететь вместе с Вами!

Давайте вместе с Вами подведём итоги нашего урока.

а) Сегодня на уроке мы повторили…

б) Сегодня на уроке мы изучили…

И в качественного беспристрастного помощника у нас сегодня выступал

компьютер.

Дорогие

друзья,

это

был

первый

урок

по

теме

«Решение

задач

на

составление систем квадратных уравнений». На следующих уроках Вы

продолжите работу по этой теме.

(Слайд 10)

Я надеюсь, что мы с Вами ощутили радость! Спасибо за урок!