МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №2» Прикладная математика
Тема урока:

«Решение задач о молоке и сыре»
Учитель математики: Софронова Н.В.
Цель

урока:
формирование у учащихся умений математического моделирования практических задач.
Оборудование:
таблицы данных, стенды, наборы многогранников и тел вращения, калькуляторы.
Ход урока

I.Организационный момент.
Мотивация познавательной деятельности – сообщение цели урока. Учитель. На уроке мы решим практические задачи, задачи о молоке, решим их математическими методами, т.е. научимся выполнять математическое моделирование. Вопросы: 1.Что мы знаем о молоке? (Молоко – продукт питания человека; молоко – как сырьё, из которого изготавливают молочные продукты: сыры, сливочное масло, творог, сметану и т. д.) 2.Какие параметры в повседневной жизни, на практике применяются для оценки качества молока? (Вкус, запах, цвет, жирность, плотность, содержание белков и сахара) 3.Какие параметры (характеристики) можно измерить? (Например, цвет, вкус и запах молока сравнивают с некоторым эталоном, а жирность, плотность молока можно измерить и выразить с помощью числа и единицы, в которой выражается эта величина.)
II. Закрепление теоретического материала в процессе решения задач
.
Задача №1.

Стандартная жирность молока в нашей стране 3,2%. В фермерском хозяйстве

«Катран» ежедневно надаивают 100кг молока с жирностью 3,65%. Что необходимо

сделать, чтобы довести молоко до стандартной жирности? Добавить воды или

добавить обрат?
Учитель. Вначале надо уточнить, что такое жирность молока. Жирность молока – это величина, равная отношению массы жира в молоке (m ж ) к массе молока (m м ), выраженная в процентах, т.е. m ж
n = ------ . 100% m м Учащиеся. Из формулы видно, что уменьшить жирность молока можно, увеличивая массу молока, не изменяя массы жира в нем. Это можно сделать, добавляя в молоко воду. Учитель. Но есть и другие показатели качества молока, например, плотность. Оказывается, добавление воды в молоко уменьшает его плотность, т.е. плотность «жирного» молока меньше плотности стандартного молока. Добавив воды в «жирное» молоко, мы дополнительно уменьшаем его плотность. Но лаборанты с помощью ареометра легко определяют фальсификацию молока по формуле d = D + 0,0202(t – 20), где d – плотность молока, D – показание аэрометра, t – температура молока. Известно, что плотность молока колеблется в пределах 1,027 – 1,0032, плотность сливок 0,962. Вопросы: 1. По какой формуле вычисляется плотность? (Плотность – величина, равная отношению массы вещества к его объёму, т.е. ρ =m/V.) 2. В каких единицах выражается плотность молока? (Согласно формуле плотность выражается в кг/м 3 или г/см 3 .) Учитель. Плотность молока определяется иначе. Плотность молока – это отношение массы молока при температуре 20 о С к массе равного объема дистиллированной воды при температуре 4 о С, т.е. d = m м /m в , где m м – масса молока, m в – масса воды. Из отношения видно, что плотность молока задаётся всего лишь числом. Заметим, что определение понятия «плотность», используемое в животноводстве, не соответствует определению этого понятия в физике. Вернёмся к задаче. Итак, добавление воды повлияет на плотность, на содержание белков и т.п. Что же надо добавить в молоко, чтобы довести жирность молока до стандартной? Ответ: надо добавить обрат, жирность которого 0,05%. Вопрос: Сколько обрата надо добавить, чтобы получить молоко стандартной жирности? Решение: Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо выполнить математическое моделирование задачи. Пусть х кг масса обрата, тогда 3,65 . 100 + 0,05х (кг) – масса жира в молоке, 100 + х (кг) – масса молока. Известно, что жирность молока должна быть 3,2%. Уравнение: 3,65 . 100 + 0,05х ------------------------ = 3,2 100 + х Учащиеся самостоятельно решают уравнение и получают: х = 14 Следует взять 14 кг обрата. Выводы. Для получения молока с меньшей жирностью необходимо добавлять обрат. При решении задачи выполняются предварительные математические расчеты с помощью уравнения первой степени. Отсюда следует, что уравнение первой степени есть математическая модель практической задачи.

Задача №2.

Сыроделы считают, что при равном объёме сыры шаровой формы лучше сохраняют

свои вкусовые качества, чем сыры формы цилиндра или прямоугольного

параллелепипеда. Почему?
Учитель. Выполним анализ и ответим на вопрос: как может качество сыра зависеть от его формы? Ответ. Первоначальные вкусовые качества сыра не зависят от формы сыра. Возможно позже как-то вкусовые качества меняются, причем у сыров разной формы по-разному. Вкусовые качества меняются в результате испарения и, возможно, окисления. Из курсов физики и химии знаем, что процессы испарения и окисления зависят от площади поверхности тел. Учитель. Какова математическая модель данной практической задачи? Чтобы ответить на этот вопрос эту задачу можно сформулировать на языке математики, геометрии: сравнить площади поверхностей прямоугольного параллелепипеда, цилиндра и шара, у которых одинаковые объёмы. Решение. Пусть сыр имеет форму: а) куба, б) цилиндра, в) шара. Тогда: а) V = а 3 , а = 3 √V, S к = 6а 2 = 6( 3 √V ) 2 а б) V = πR 2 . 2R, V = 2πR 3 , R = 3 √V/2π, S ц = 6π ﴾ 3 √V/2π﴿ 2 в) V = 4 / 3 πR 3 , R = 3 √3V/4π, S ш = 4π﴾ 3 √3V/4π﴿ 2 Cравним S к 3 , S ц 3 и S ш 3 .
S к 3 = 216V 2 = 54 . 4V 2 S ц 3 = 54πV 2 S ш 3 = 36πV 2 Ответ: S к > S ц > S ш , Вкусовые качества сыра шарообразной формы сохраняются лучше, чем сыров другой формы.
Задача №3.

Желоба для выпойки телят обратом сбивают из двух досок. Под каким углом следует

сбивать доски, чтобы получить желоб наибольшего объема?
Решение. S = ½ а 2 sinα, Наибольшее значение sinα = 1, если α = 90 о . а Ответ: 90 о .
Домашнее задание.
Задача 1. Средняя жирность сливочного масла 80%, а молока 3,5%. Сколько потребуется молока для получения 1 кг сливочного масла? Задача 2. Под каким углом следует сбить три одинаковые доски, чтобы получить поилку наибольшей вместимости?
III. Подведение итогов урока.