Математика. 11 класс.

Урок-обобщение знаний по теме « Тела вращения ».
Это урок повторения формул для вычисления элементов тел вращения. Учитель всегда должен находиться в состоянии творческого поиска новых приёмов и способов обучения. Мой девиз: не ошибается тот, кто ничего не делает. Самым ценным для учителя – это его ученики. Детям должно быть интересно учиться. Поэтому хорошо включать в учебный процесс необычные элементы. Учение будет эффективным, если оно увлекательно, не только для учащихся, но и для самого учителя, который должен получать удовольствие от изучения своего предмета и от его преподавания. Приходиться искать что- то особенное, чтобы заинтересовать учащихся, научить их способности мыслить свободно, без страха, творчески.
1-ый этап
. Сказка «Приключение колобка». Приготовить таблички с формулами для вычисления различных элементов тел вращения, модели конуса, цилиндра, шара; маски для действующих лиц: лиса, заяц, волк.
Ведущий.
Жили-были в одном геометрическом царстве Цилиндр и Конус- неразлучные друзья (выходят два ученика с моделями данных тел). И вздумали они друг перед другом хвастаться.
Цилиндр.
Я, Конус, больше тебя, хотя высоты у нас равные. У тебя одно основание, которое имеет площадь ПR 2 , а у меня их целых два, а значит общая площадь оснований равна 2ПR 2 . Площадь моей боковой поверхности 2ПRH, а твоя только ПRl, то есть ----------- ( учащиеся называют формулу площади боковой поверхности конуса, выразив образующую конуса через высоту и радиус основания: l 2 =H 2 +R 2 ). А уж объём мой в три раза больше твоего. У меня ПR 2 H, а у тебя 1/3ПR 2 H. Наверное, поэтому у меня и аппетит больше. Придумай-ка, чего бы нам поесть.
Конус.
Хоть ты и больше, а я зато острей. Моя вершина куда хочешь залезет. Я тоже могут быть похожим на тебя, если провести сечение, параллельное моему основанию( показывает модель усеченного конуса). А ты такой неповоротливый.
Цилиндр
. Это я – то неповоротливый? Да я в молодости когда был прямоугольником, знаешь как крутился? И вокруг одной стороны ( показывает на модели), и вокруг другой стороны. Даже вокруг совершенно посторонних прямых приходилось поворачиваться, если они совпадали с
серединными перпендикулярами к моим сторонам(показывает оси симметрии на чертеже). Жить захочешь – повернешься. Вот так и выбился в цилиндры.
Конус.
Да и я не отставал. Если взять твою половинку- прямоугольный треугольник тогда и я получусь. Пришлось мне побегать вокруг катета,чтобы стать конусом(показать на модели). Но хватит болтать. Раз ты больше, так и давай что-нибудь на обед.
Цилиндр
. Что же мне дать? У меня ничего нет.
Конус
. Ты же сам хвастался, что у тебя целых два основания .Вот и давай одно из них.
Цилиндр
. На бери (протягивает конусу бумажный круг), может сумеешь из него что-нибудь приготовить.
Конус.
Что же мне с ним делать? (Обращается за помощью к классу). Если вращать круг вокруг диаметра, то получится шар. А если его испечь в печке, наш шар превратиться в колобок. Ох и вкусный, наверное?
Появляется Колобок
( ученик с шаром в руках). Кажется они собираются пообедать мною – самой совершенной из фигур! Укачусь-ка я от них. Они меня не догонят. Колобок убегает , цилиндр и конус обескураженные уходят.
Ведущий.
Катится, катиться вдаль колобок. Крутится, вертится красный бочок. По лесу серый зайчишка скакал и колобка невзначай повстречал.
Заяц.
Колобок, колобок, я тебя съем!
Колобок.
Я от конуса ушел, я от цилиндра ушел, а от тебя косой, и подавно уйду. Вот ответь на мой вопрос: что такое диаметр сферы?
Заяц
(удивленно). Диаметр сферы – это… Пока заяц думает, колобок убегает.
Ведущий.
Катится, катиться вдаль колобок. Крутится, вертится красный бочок. А под кустом серый волк там лежал. Весь разговор он с зайчишкой слыхал. Посмотрел волк в учебнике нужное определение и бросился вслед за колобком.
Волк
(догонят колобка). Колобок, колобок, я тебя съем.
Колобок
. Я от конуса ушел, от цилиндра ушел, от зайца убежал и от тебя, волк, подавно уйду.

Волк.
Не уйдешь! Диаметром сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр сферы. Вот- так!
Колобок
. А ты знаешь, чему равна площадь поверхности сферы?
Волк.
Дай-ка я подумаю! Колобок, воспользовавшись заминкой, убегает от волка.
Ведущий.
Катится, катиться вдаль колобок. Крутится, вертится красный бочок. А на опушке сидела лиса, книжку читала, конечно, она.
Лиса.
Что я вижу? Какай прекрасный Колобок! И какой большой! Какова же площадь твоей поверхности, милый дружок?
Колобок.
Площадь моей сферы составляет 4ПR 2 .
Лиса.
Да это же учетверенная площадь твоего большого круга! Какая красивая и простая формула!
Колобок
( тая от ласки, теряет бдительность). А вот мой объём вычисляется сложнее: 4/3ПR 3 .
Лиса.
Что же тут сложного? Объём шара в 4 раза больше объёма конуса, у которого высота равна радиусу основания ( приготовить заранее чертежи), то есть R=H. А скажи, мой сладкий, как относятся друг к другу объёмы двух шаров?
Колобок
(смущенно). Про себя – то я все знаю, а вот про другие шары ещё не выучил.
Лиса
( придвигается к колобку все ближе и ближе). Дай-ка я шепну тебе на ушко эту теорему: « Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов». Лиса хватает колобка и они, вместе убегают.
2-ой этап
. Учащиеся отвечают на вопросы ведущего: Ребята, о каких телах идет речь в сказке? ( Круглые тела или тела вращения). Почему их так назвали? ( они получены вращением плоских фигур вокруг…). Сформулировать определение конуса, цилиндра, сферы, шара, усеченного конуса. Далее учащиеся выполняют чертежи данных тел в тетради и выделяют их элементы.
3-ий этап
. Учащимся предлагается узнать формулу: 1) ПR 2 ; 2) ПRL; 3)2ПRH; 4)2ПR 2 ; 5) 1/3ПR 2 H ; 6) ПR 2 H; 7) 4ПR 2 ; 8) 4/3ПR 3 ; 9) H 2 +l 2 ; 10) 2ПR; 11) 2R; 12) H 2 +R 2 ; 13) П(R+R 1 )L. Формулы записать в тетрадь, распределяя их по своим объектам, указывая что они означают.

4-ый этап
. Решение задач на доказательство . 1)Доказать слова лисы: «Объём шара в 4 раза больше объёма конуса, у которого высота равна радиусу его основания». 2) Что нашептала лиса на ушко колобку? Доказать, что объёмы шаров относятся как кубы их радиусов.
5-ый этап.
Решение задач из сборника по подготовки к ЕГЭ. Ученик самостоятельно выбирает тему: «конус», «цилиндр», «шар» ( можно решать задачи из разных тем) и уровень сложности задачи. Решение выполняется в тетради. Тетради сдаются на проверку. Каждый ученик получит возможность выбрать соответствующее задание по его уровню подготовки и иметь положительную отметку за урок. Тема «Цилиндр». 1) Найти площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 10см вокруг его оси симметрии, параллельной большей стороны. 2) Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 4см. Найти объём цилиндра. 3) Радиус основания цилиндра равен 8см, площадь боковой поверхности вдвое меньше площади основания. Найдите объём цилиндра. 4) Найти объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 12см вокруг большой стороны. 5) Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите объём тела вращения. Тема «Конус». 1) Образующая конуса равна 12см и составляет с плоскостью основания угол 30 0 . Найти объём конуса. 2) Площадь боковой поверхности конуса равна 20П см 2 , а площадь его основания на 4П см 2 меньше. Найти объём конуса. 3) Объём конуса с радиусом основания 6 см равен 96П см 3 . Найти площадь боковой поверхности конуса. 4) Найти площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом8 см вокруг его оси симметрии. 5) Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая конуса равна 13 см. Найти объем конуса. Тема « Шар».
1)Объём шара равен 36П см 3 . Найдите площадь поверхности шара. 2)Сумма площадей поверхностей двух шаров радиуса 4 см равна площади поверхности некоторого большего шара. Каков объём этого большего шара? 3)Плоскость проходит на расстоянии 8 см от центра шара. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь поверхности шара. 4) Найти площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведенной на расстоянии 29 см от центра шара. 5) Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объём шара, если АВ= 21см, ВО=29см. Учитель: Осипова Т.Б. г. Владивосток.