Теоремы и следствия о касательных и секущих к окружности Руководитель проекта : учитель математики Шкромада Е.А. Теория и практика 8 “Б” класс ГБОУ СОШ №548 Санкт-Петербурга 2017 учебный год
Теорема: Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых им дуг. О В С А D Дано: АО, ВО - секущие СВ, АВ - высекаемые дуги Доказать: ∠ AOB =½( ‿ АВ- ‿ СD) Док-во: 1) Построим отрезок AD 2) ∠ ADB=½ ‿ AB 3) ∠ CAD=½ ‿ CD 4) ∠ ODA = 180 ० - ∠ ADB=180 ० -½ ‿ AB (так как углы смежные) 5) Рассмотрим Δ ADO: a) ∠ О=180 ० - ∠ D- ∠ А= =180 ० -(180 ० - ½ ‿ AB)-½ ‿ CD= =½( ‿ AB- ‿ CD) ЧТД Серова Наталия и Ольга Мустафаева
Задача Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140° и 52°. Дано: Решение: AC,FC-секущие 1)Т.к.<ABF-вписанный,то <ABF=½AF=70 AF=140 2)Т.к.<BFD-вписанный,то <BFD=½BD=26 BD=52 3)Из треуг.BCF:<F=26 град.(<B-смежный с <ABF)=180-70=110 <ACF-? <C=180-(26+110)=44 Ответ:44 градуса. Серова Наталия и Ольга Мустафаева
Теорема: Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключенных между сторонами этого угла. Полина Ромадова и Катя Мацакян B E A D C Дано: Окр.(О, r) AB - касательная CD - секущая CD ⋂ AB(.)E O Доказать: ∠ DEB= ½( ‿ AC- ‿ BD) Доказательство: 1) Доп. постр. хорды BC и BD 2) ∠ BDC=½ ‿ AC ∠ BCD=½ ‿ BD 3) ∠ DBE= ∠ DCB (по теореме ∠ между хордой и касательной) 4) ∠ BED= ∠ BDC- ∠ DBE (по св. внеш. ∠ )(см. п.2,3) => ∠ BED=½ ‿ AC-½ ‿ BD=½( ‿ AC- ‿ BD) Ч.т.д. По теореме о впис. ∠
Задача Треугольник АВС вписан в окружность. DA- касательная. <A=54, <В=82. Найдите угол ADC. Дано: Решение: Треугольник АВС Величина угла, образованного касательной и секущей , равна половине Окружность разности величин дуг, заключённых между его сторонами ⇒ ∠ A=54º, ∠ B=82º ∠ АDС=( ◡ АС- ◡ АВ): 2 DA касательная ∠ АВС вписанный и равен половине ◡ АС, на которую опирается ⇒ ◡ АС =2х82º=164º Найти ∠ ADC ∠ АСВ вписанный и равен половине ◡ АВ, на которую опирается. ∠ АСВ=180º-(54º+82º)=44 ⇒ ◡ АВ=2х44º=88º ∠ АDC= (164 -88):2=38º Ответ: ∠ ADC =38º Полина Ромадова и Катя Мацакян
Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Колпакова Ира и Васильева Софья Дано: Окружность(О;r) AB,CD-хорды E-точка пересечения хорд Докажем: AE*BE = CE*DE Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ADE и CBE. Их углы A и C равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD. 2. По аналогичной причине ∠ D = ∠ B. => треугольники ADE и CBE подобны (по второму признаку подобия треугольников). => 3. DE/BE = AE/CE, или AE * BE = CE * DE. ЧТД
Задача: В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20. Дано: Окружность(О;r) AB,CD-хорды AB ⋂ CD Найти:AC Ответ: AC=15 см. Колпакова Ира и Васильева Софья Решение: 1)В треугольниках AFC и BFD: ∠ AFC= ∠ BFD (как вертикальные); ∠ ACF= ∠ DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD). Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). 2)Т.к треугольник AFD подобен треугольнику BFD:
Теорема: Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Вахрушева Ксения и Федоров Максим Окр.(O;r) AB;CD-касательные
Доказать:
BED= ‿ b- ‿ y ? 2
Доказательство:
1)Рассмотрим треугольники OBE и ODE. OBE=ODE(OE-общая, BO=OD, ∠ BOE= ∠ DOE при бис-се OE) 2) ∠ BED=360-180( ∠ OBE+ ∠ ODE)- ∠ BOD 360-180=180( ∠ BED+ ∠ BOD) ∠ BOD=120( ∠ OBE+ ∠ ODE)=> ‿ y=120 3)180-120=60 ( ∠ BED) 4) ‿ b=360-120=240 240-120=120 120/2=60 ( ∠ BED)=> ∠ BED= ‿ b- ‿ y 2 Ч.т.д. y b
Задача Дано: окр (О; r) BE, BM- кас ∠ AOC= 60 º ∠ ABC= ? º B E A M C O Решение: 1)Т.к. ∠ AOC= 60 º => дуга T=60º (св центр ∠ ), дуга AC=360 º -60 º =300 º 2) ∠ ABC=(дуга AC-дуга T):2=(300- 60):2=120 Ответ: 120 º T Вахрушева Ксения и Федоров Максим
Теорема: Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Панфилец Полина +Большакова Ольга Проведём отрезки BD и CD. Треугольники ABD и ADC подобны: угол A у них общий, а углы ADB и C равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги BD. Из подобия следует соотношение откуда получаем Поскольку секущая выбрана произвольно, то данное соотношение будет выполняться для любой секущей. Следовательно доказана и теорема о двух секущих.
Задача Большакова Ольга и Панфилец Полина Дано: Окр (O,r) AB - касат. AD=? Решение Из точки к окружности проведена касательная 12 см и секущая. Известно, что AC в два раза больше СD. Найти длину секущей AD. Из свойств секущей и касательной известно, что AB(2)=AD*AC Пусть АС=х, тогда CD=2x, а AD=AC+CD=x+2x=3x Следовательно, 12(2)=3х*х=3х(2) Оттуда х=4√3 Таким образом AD=3x=12√3 Ответ: AD=12√3 см
Теорема: Если через точку, лежащую вне окружности проведены 2 секущие, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла. Дано: Окр.(О;r) АD,BЕ-сек. Доказ. ∠ ACЕ=½( ‿ AE - ‿ BD ) Ярославцев Артём и Горохов Илья Доказательство 1)В АСD: ∠ С= 180-( ∠ А+ ∠ D) ∠ D=180 - ∠ АDE 2) ∠ ADE- впис. =1/2дуги AЕ Из первых двух пунктов ∠ D=180-½ дуги АЕ 3) ∠ А-впис. ∠ А=1/2 ‿ BD СОСТАВИМ ФОРМУЛУ: ∠ АСЕ=180-(1/2 ‿ BD+180-1/2 ‿ AE)=180- 1/2 ‿ BD-180+1/2 ‿ AE=- 1/2 ‿ BD+1/2 ‿ AE=1/2( ‿ AE- ‿ BD) Ч.Т.Д.
Задача: Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу. Дано: АС, СЕ- секущие ∠ АСЕ=32 ‿ АЕ=100 Найти: ‿ ВD-? Ярославцев Артём и Горохов Илья Решение: 1. ∠ АСЕ=½( ‿ АЕ- ‿ ВD) (по теореме) 2. ‿ AE- ‿ BD=2 ∠ С ‿ BD= ‿ AE-2 ∠ С ‿ BD=100 - 2*32=100 - 64 = 36 Ответ: 36
Теорема: Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам. Дано: Доказать : CE=ED- ? Никитина Марина+Лаврова Настя Дано: Окр. (О, r) АВ СD CD- хорда Доказательство 1. Соединим (.)С и (.)D с центром окружности О. 2. В р/б COD (СО=ОD=r) отрезок ЕО является высотой, проведенной из вершины О на основание CD ( по свойству р\б треугольника) OE - медиана и биссектриса, т.е. CE = ED . 3. O принадлежит AB, OE принадлежит AB следовательно и AB перпендикулярная к CD, проходит через середину. Что и требовалось доказать.
Задача: Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=2 см, а радиус окружности равен 5 см. Дано: Решение: Окр.(О;r) 1. OD=OB-BD=5-2=3 см ОВ АС 2. AC=AD+DC=2AD ( по теореме о диаметре, BD= 2см к хорде) OA=5см 3. Рассм. треуг. AOD, ∠ D=90 - по условию OC=5 см ОА=5 см, OD=3 см AC-? 4. OA^2=OD^2+AD^2 (по т. Пифагора) => => AD^2=OA^2-OD^2=25-9=16 см АО= 4 см АС= 2AD= 2*4=8 см Ответ: AC=8см Никитина Марина+ Лаврова Настя
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Задача повышенной сложности №1 Мокеев Андрей
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Най­дите AD, если

BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.
Дано: Окружность (М;r) ABCD-четырехугольник BC=12cм ∠ B=115° ∠ С=95° AD-? Решение: Около четырехугольника ABCD можно описать окружность с центром в точке М. Сумма противоположных ∠ вписанного четырехугольника 180 ⁰ ⇒ ∠ А = 180 ⁰ - ∠ С = 180 ⁰ -95 ⁰ =85 ⁰ ; ∠ D = 180 ⁰ -115 ⁰ = 65 ⁰ . AM=BM=CM=DM ⇒ ΔAMB и ΔCMD - равнобедренные ⇒∠ ABM = ∠ BAM = 85 ⁰ ; ∠ DCM = ∠ CDM = 65 ⁰ ∠ MBC = ∠ MCB = ∠ DCB - ∠ DCM = 95 ⁰ - 65 ⁰ = 30 ⁰ ΔBMC - р/б с основанием 12 и ∠ при основании 30 ⁰ . BM = BC/2/cos30 ⁰ = 12/√3 = 4√3 BM = AM = AD ⇒ AD = 2*BM = 8√3 Ответ:8√3

Задача повышенной сложности № 2
Две каса щиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Сухорукова Маша Дано: Решение: Окр(Q;48) QM и ОN- радиусы Окр(О;16) S-центр окружности описанной вокруг треугольника АВС ∠ А Т.к ВС и АВ- радиусы=> ВО и В Q- бис-сы ∠ АВК и смежного с ним ВС-касательная => ∠ ОВ Q - прямой => r -? => А NО подобен АМQ (По двум углам). Пусть А N-х ,коэф.подобия =3 => АМ=3х ,М N=2х, МС=СК=С N (Свойство отрезки кас.) В прямоуг. АВК катет В прямоуг. SВК по теореме Пифагора Ответ: 32

Задача повышенной сложности №3
Гончар Арина В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В, проведена биссектриса угла А. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведенный к стороне ВС в точке N. Найдите угол ВСL, если известно, что угол АСВ=40°. Дано: Окр. (O;r) ABC - пр/уг АL -бисс. NL - середин. перпендикуляр ∠ АСВ=40° ∠ ВСK- ? Пусть N- середина ВС. Рассмотрим окружность, описанную около АВС. Пусть серединный перпендикуляр к ВС пересекает меньшую дугу ВС в точке L, тогда точка L является серединной этой дуги, ‿ BL= ‿ LC. Но тогда ∠ BAL= ∠ CAL как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL- биссектриса ∠ ВАС. Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к ВС и биссектрисой ∠ ВАС. Заметим, что ∠ ВСL= ∠ CBL, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Пусть ∠ ВСL=x. Четырехугольник ACLB-вписанный, поэтому ∠ ACL+ ∠ ABL=180°, то есть 40°+x+90°+x=180°,откуда x=25°. Так как точки K и L совпадают, ∠ ВСK= ∠ BCL=25°. Ответ: 25°.
Задача повышенной сложности №4
В окружности с центром в точке О проведены две хорды АВ и СD. Прямые АВ и СD перпендикулярны и

пересекаются в точке М, лежащей­ вне окружности. При этом АМ=36, ВМ=6 и СD=4√46. Най­дите OM.

Решение:
1) r - радиус окр., K - середину AB, L - середину CD. Т.к. ΔAOB и ΔCOD р/б, OK и OL AB и CD соответственно. Отрезок AB равен AM – BM = 30. Четыр-к OKML является прям-ом, поэтому OL = AB/2 + BM = 21. Из прям-ого ΔODL находим r = √ OL2 + DL2 = 25 Изпрям-ого Δ OKB находим OK = √ r2 + KB2 = 20 Из прям-ого ΔOKM находим OM = √ OK2 + KM2 = 29 Ответ: 29.
Дано:
Окр. (r,О) АВ и СD - хорды АВ ⋂ СD в точке М АМ=36 см ВМ=6 см D=4√46 см ОМ - ? Степанова Настя
Задача повышенной сложности № 5 Смирнов Алексей Дано: АВСD-р/б. трапеция Окр.(О,r)-вписана в ABCD КН- середин.перпендекуляр к осн. трапеции О-серед. КН BC=2, AD=8, AP=PB ОО1=? Решение: Р K B C D L H O1 O LH=BK=BC/2=1, AH=AD/2=4, AL=AH-LH=3. Из ABL по теореме Пифагора получаем BL=√AB^2-AL^2=√25-9=4. Так как Р - середина отрезка АВ,О - середина КН, то РО - средняя линия трапеции АВКН и РО = ВК+AH/2=5/2. ОО1Р=90- ОРО1= BPO= BAL(соответственные при РО AL и секущей АВ). Следовательно, прямоугольные треугольники АВL и О1РО подобны по двум углам и О1О/AL=PO/BL. OO1=Al*PO/BL=3*5/2*4=15/8. Ответ:15/8. А

Задачи повышенной сложности №6

Окружность радиуса
4
касается внешним образом второй­ окружности в точке
B
. Общая касательная к

этим окружностям , проходящая через эту точку, с некоторой­ другой­ их общей­ касательной­ в точке
A.
Най­дите радиус второй­ окружности
Дано: Решение: AB=6

= ( по катету и гипотенузе) Да но: Окр. (O2;r) = ( по катету и гипотенузе) Следовательно MN перпендикулярна MO1 AO1 и AO2 - биссектрисы углов и MN перпендикулярна MO2 прямые MO1 и NO2 - параллельны . O1B=4 AB=6. сумма односторонних углов равна 180, а сумма углов АО1В и АО2В равна 90 O2B=? - прямоугольный треугольник т.к. - высота, проведенная к гипотенузе треугольники и Ответ: 9 Гусева Мария