Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «БЕРЕЗНИКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ» Методическая разработка урока по математике по теме: «Тригонометрические уравнения» Разработала: преподаватель математики Шестакова Надежда Алексеевна Березники, 2016 1

Содержание.
1. Введение. 2 2. План урока. 3 3. Конспект урока. 4 4. Анализ урока. 7 5. Методические рекомендации. 9 6. Приложения. 9 7. Литература 9
1.

Введение
Методическая разработка по теме «Тригонометрические уравнения» предназначена для проведения урока математики в группах студентов, обучающихся по всем профессиям, разработана на основе федеральных государственных образовательных стандартов по профессиям среднего профессионального образования. Проводится на первом курсе обучения: в математике после изучении раздела «Основы тригонометрии». Тема выбрана в связи с трудностями в усвоении темы «Тригонометрия» обучающимися. Считаю, необходимо обобщить полученные знания и навыки обучающихся, показать значимость темы в окружающем мире и развивать интерес к предмету и данной теме. Урок повышает интерес обучающихся к изучаемому предмету и формируют необходимые общие компетенции, такие как: ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов её достижения, определённых руководителем. ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы. ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач. 2

2.

План урока

Группа:
18, 1 курс.
Дата:
17.12.2014год.
Преподаватель:
математики Н.А.Шестакова.
Тема:
«Тригонометрические уравнения».
Цели:
1.Познавательная: 1)Активизировать мыслительную деятельность учащихся для закрепления знаний по теме «Тригонометрические уравнения ». 2)Повторить изученный материал по теме «Тригонометрические уравнения» и применить его в изучаемой теме. 3)Формировать умение находить необходимый способ решения тригонометрических уравнений 2.Развивающая: развивать у учащихся логическое мышление, умение анализировать, самостоятельность. 3.Воспитательная: способствовать формированию у учащихся познавательного интереса к предмету и его отдельной теме, коммуникабельности, инициативы.
Тип:
повторение полученных знаний.
Метод:
аналитический, частично поисковый.
КМО:
 Мультимедийный проектор.  Документ - камера  Презентация «Тригонометрические уравнения».  Раздаточный материал для учащихся.
Ход урока.
1.Организационный момент. 2.Целеполагание. 3.Повторение. 4.Обобщение. 3
5.Закрепление. 6.Итоги урока. 7.Домашнее задание.
3.

Конспект урока.
1.
Организационный момент
. Приветствие учащихся.
2.

Целеполагание.
- Мы с вами практически изучили свойства тригонометрических функций и вы задавали один вопрос, какой? - Зачем это нам изучать? - Сегодня, надеюсь, вы получите ответ. Мы уделяли большее внимание решению уравнений, так как с их помощью решаются неравенства и системы уравнений и неравенств. Сегодня мы попытаемся обобщить и повторить основные методы. Для получения оценки за урок вам необходимо:  Отвечать устно  Выполнить тестовое задание  Решить уравнение Итак, тема урока «Тригонометрические уравнения».
3.

Повторение.
- Уравнение есть равенство, которое ещё не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь. А.Фуше - Вспомните, пожалуйста, какой приём мы применяем к решению всех тригонометрических уравнений? - Мы сводим решение к простейшим уравнениям, формулы, для решения которых мы знаем или можем посмотреть в справочнике. - Что мы используем при этом? - Тригонометрические формулы и различные математические приёмы или способы решения, свойства тригонометрических функций. - Назовите способы решения, которые вам чаще всего приходилось применять? 4
- Вынесения общего множителя за скобку или разложения на множители; применение основного тригонометрического тождества; замену переменной; приведение к квадратному уравнению; применение формул сложения или половинного угла.
4.

Обобщение.
А сейчас вам нужно выполнить тестовое задание. Вам предлагается 5 уравнений и сначала по внешнему виду, не решая их выбрать необходимые для решения предложенные методы и поставить нолик против выбранного способа для каждого уравнения (выдвинуть гипотезу). Затем приступаете к решению уравнений в тетради, начиная: 1 ряд с первого, одна половина второго со второго, вторая половина с третьего, одна половина третьего с четвёртого и вторая половина третьего ряда с пятого – вы будете экспертами по решению данного уравнения. На выполнение задания 5-7 минут. Затем мы обсудим правильность ваших предположений. - Учащиеся выполняют задания, затем обсуждают результаты. 1) 3 sin 2 х + cos 2 х = 1 − sin х ∙ cos х Т.к. sin 2 х + cos 2 х = 1 , Получаем 2 х +¿ sin х ∙ cos х = 0 sin 2 ¿ ,однородное уравнение второй степени 1 способ : вынесем за скобку sin х , получаем х 2 sin х + cos ¿= 0 ¿ х ∙ ¿ sin ¿ , sin х = 0или 2sin х + cos х = 0 , Решением первого уравнения является х = πk , k Є Z Второе уравнение однородное первой степени делим его на cos х ≠ 0 Получаем 2tg x=- 1, tg x = -0,5, x 2 = arctg(-0,5) + πn , nЄ Z 2 способ: делим на cos 2 х ≠0 , получаем 2 tg 2 x + tg x = 0, вынесем за скобку tg x (2 tg x + 1) = 0, tg x = 0 или tg x = - 1 2 ; Ответ: х 1 = πk , k Є Z , x 2 = arctg(-0,5) + πn , nЄ Z 2) 3 sin 2 х + cos х = 1 , 5
Т.к. sin 2 х + cos 2 х = 1 ,получаем х 1 − cos 2 ¿+ cos х = 1 3 ¿ ,заменим cos х = у и получаем квадратное уравнение 3у 2 – у – 2 = 0, Д = 25 , у 1 = 1 ,у 2 = - 2 3 . Вернёмся к переменной х и получим cos х = 1 , х 1 = 2 πk , k Є Z , cos х = − 2 3 , − 2 3 Є [ − 1 ;1 ] ; х 2 = ± arccos ( − 2 3 ¿+ 2πn , nЄ Z Ответ: х 1 = 2 πk , k Є Z ; х 2 = ± arccos ( − 2 3 ¿+ 2πn , nЄ Z 3) sin 2 х = 2cos 2 х , применим формулу двойного угла для sin 2 х = 2 sin х∙ cos х получим однородное уравнение второй степени 2 sin х ∙ cos х − 2 cos 2 х = 0 , 1 способ: вынесем 2 cos х ( sin х − cos х ) = 0, получим cos х = 0 , х= π 2 + πk , k Є Z ; или sin х − cos х = 0 однородное уравнение первой степени, делим на sin х ≠ 0, получаем 1 – ctg x = 0, ctg x = 1, х= π 4 + πn , nЄ Z 2 способ: делим на cos 2 х ≠0 , получим 2tg x= 2 или tg x = 1, х= π 4 + πk , k Є Z (теряем один корень т.к. может быть х = 0 cos ¿¿ Ответ: х 1 = π 2 + πk , k Є Z ; х 2 = π 4 + πn , nЄ Z 4) 1 − sin х ∙ cos 2 х = cos х ∙ sin 2 х , применим формулу синуса суммы и получим х + 2 х ¿ ¿ sin ¿ , sin 3 х = 1, 3х = π 2 + 2 πk , k Є Z ; делим на3, получаем х= π 6 + 2 π к 3 , k Є Z ; Ответ: х = π 6 + 2 π к 3 , k Є Z
5)
х + 1 2 cos х 3 − √ 3 tg ¿ · (¿¿)= 0 ; ¿ получим tg х + 1 = 0 или 2cos х 3 − √ 3 = 0 ; 6
tg x = -1, х= - π 4 + πk , k Є Z или cos х 3 = √ 3 2 , √ 3 2 Є [ − 1 ;1 ] , тогда х 3 = ± arccos √ 3 2 + 2 πk , k Є Z , умножим на 3 и получим х= ± π 2 + 6 πn , nЄ Z , при данном значении теряет смысл первое уравнение т.к. функция тангенса не определена. Ответ: х= - π 4 + πk , k Є Z Оцените правильность своей гипотезы.
Вывод
: Мы использовали различные способы для решения данных уравнений, различные тригонометрические формулы, свойства тригонометрических функций, чтобы свести их к простейшим уравнениям . Но для решения любых тригонометрических уравнений необходимо:  Цель ( что сделать?) - свести решение к простейшим уравнениям.  Средства ( чем?) - различные тригонометрические формулы и свойства тригонометрических функций.  Способ ( как?) – математические преобразования и различные способы для решения уравнений.  Анализ ( всё ли подходит?) – проверка корней уравнения. Эта схема подходит для решения любых задач и жизненных в том числе.
5.

Закрепление.
У вас было домашнее задание найти примеры применения тригонометрических функций в окружающем мире. Девочки объединили свои открытия в презентацию, с которой они вас познакомят.
6.

Итоги урока.
Сегодня на уроке обобщили основные приёмы и способы решения уравнений и убедились, что тригонометрические функции применяются во многих областях жизни людей. За работу на уроке следующие оценки: 7.
Домашнее задание
: подготовка к контрольной работе по теме.
4.

Анализ урока.
7
Тема «Тригонометрические уравнения». Тип: повторение полученных знаний. 1. Урок является завершающим по теме «Тригонометрия», перед контрольной работой. Этот урок основан на знаниях и умениях предыдущих уроков данной темы и является опорой для последующего – контрольной работы. 2. В группе 24 студента: сильных 7, слабых 6, остальные середнячки. При планировании урока дана возможность учащимся выполнять работу по своим способностям: устные ответы, решение уравнений, тестовое задание. 3. ТДЦ: 1.Познавательная: 1)Активизировать мыслительную деятельность учащихся для закрепления знаний по теме «Тригонометрические уравнения ». 2)Повторить изученный материал по теме «Тригонометрические уравнения» и применить его в изучаемой теме. 3)Формировать умение находить необходимый способ решения тригонометрических уравнений 2.Развивающая: развивать у учащихся логическое мышление, умение анализировать, самостоятельность. 3.Воспитательная: способствовать формированию у учащихся познавательного интереса к предмету и его отдельной теме, коммуникабельности, инициативы. Оценка : цели урока достигнуты. Показатели реальности урока 4. На уроке были использованы устные ответы учащихся, выполнение тестового задания, решение уравнений с последующим обсуждением, обобщение результатов, защита творческого задания. Главным этапом урока считаю обобщение и составление схемы решения уравнений. 5. Рациональность распределения времени на уроке: время распределено рационально. «Связки» между этапами урока логичны: повторение основных понятий для выполнения тестового задания и решения уравнений с последующим обобщением. Все подготовительные этапы работали на главный этап – составление схемы решения уравнений. 8
6. На уроке необходимы тестовые задания для постановки проблемной ситуации и решения уравнений, справочные материалы для уточнения используемых формул; документ-камера необходима для обсуждения полученных учащимися решений и мультимедийный проектор для обобщения и составления схемы, просмотра презентации. 7. Контроль на всех этапах: устный опрос при повторении и обсуждении результатов, тестовое задание при обобщении, выборочная проверка решений уравнений при обсуждении. Коррекция знаний при обсуждении решений уравнений группами студентов. 8. Психологическая атмосфера урока спокойная и доброжелательная, общение со студентами корректное. 9. Оценка урока: поставленные цели урока достигнуты, задачи выполнены на всех этапах, учащиеся с заданиями справились. 10. Перспективы деятельности Провести корректировку дидактических материалов по тригонометрии в связи с приобретёнными знаниями в университете и применять их в работе.
5.

Методические рекомендации
Урок рекомендуется проводить после изучения основного материала по теме «Тригонометрия», т.к. обучающиеся должны знать свойства тригонометрических функций, уметь применять основные формулы тригонометрии и владеть основными способами решения тригонометрических уравнений.
6.

Приложения.
1. Тестовое задание. 2. Эталон ответа. 3. Презентация.
7.

Литература.
1.Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11класса общеобразовательных учреждений. – М.; Просвещение , 2005. 9
2.Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2001. 3.Потапов М.К., Шевкин А.В. О решении уравнений / Математика в школе, 2003, № 8
Приложение 1

Тест

Инструкция:
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения. (Способов может быть несколько.) 1 – приведение к квадратному уравнению; 2 – приведение к однородному уравнению; 3 – применение формул сложения; 4 – разложение на множители; 5 – применение основного тождества. 1 2 3 4 5 10

Приложение 2

Ответы

1

приведение

к

квадратном

у уравнению

2

приведение

к

однородном

у уравнению

3

применени

е формул

сложения

4

разложени

е на

множители

5

применени

е основного

тождества

1

+

+

+

2

+

+

+

+

+
11

3

4

+

5

+

Вывод:
Обратите внимание, что вы применяли несколько различных способов для решения одного уравнения 12