0 Элективный курс «Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами» Автор: Ракова Лидия Викторовна, учитель математики МБОУ «Ямальская школа-интернат имени Василия Давыдова» с.Яр-Сале Ямальского района ЯНАО

1. Пояснительная записка к элективному курсу «Линейные и квадратные уравнения

и неравенства с параметрами» для старшей школы
Данный элективный курс предназначен для учащихся 10-11 классов, для развития и систематизации знаний учащихся по теме «Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами» и подготовки их к итоговой аттестации, ЕГЭ и вступительным экзаменам в вузе. Рассчитан он на 34 часа.
Цель

курса
состоит в формировании положительной мотивации изучения математики, в понимании и осознании учащимися положения универсальности математических знаний.
Задачи курса:
- сформировать и развить у учащихся навыки решения задач с параметрами; - выделить и систематизировать методы решения задач с параметрами, начиная с самых простых линейных уравнений и неравенств с параметрами; - актуализировать знания методов решения задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена относительно точки, луча, отрезка; - расширить общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства их с научной литературой по данной теме курса. В содержании программы курса предлагается ряд вопросов и свойств задач с параметрами, которые не изучаются в школьном курсе, но непосредственно к нему примыкают, потому что доказываются на основе школьных знаний обязательного минимума среднего (полного) общего образования. В ходе изучения данного курса с учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: - метод интервалов в неравенствах с параметрами; - замена переменной в задачах с параметрами; - метод разложения на множители в задачах с параметрами; - решение задач с помощью «разрешения относительно параметра»; - метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами; - выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметрами. Для практической части подобраны из действующих учебников по предметной области “математика” задачи повышенной трудности. Для развития мотивации к изучению курса подобраны (заимствованы) однотипные задачи из материалов вступительных экзаменов в вузы, материалов ЕГЭ. 1
Данный курс предусматривает не только классно-урочную и лекционно- практические системы, но и использование личностно – ориентированных педагогических технологий. Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. При решении задач значительное место занимают поиски идей решения, эвристические соображения, а только затем, само решение, найденное эвристически. Программа построена таким образом, что учитель сам может решать, сколько и какие темы в нее включить в зависимости от уровня подготовленности учащихся. Темы содержательной части программы расположены по нарастающей степени сложности и трудности, при этом учитель вправе ограничиться подбором таких заданий практического содержания, которые будут доступны всем учащимся и одновременно повысят уровень их математических знаний. Данный элективный курс предназначен для учащихся 10-11 классов, для развития и систематизации знаний учащихся по теме «Уравнения и неравенства с параметрами» и подготовки их к итоговой аттестации, ЕГЭ и вступительным экзаменам в вузе. Предлагаемый элективный курс соответствует современным целям общего образования, основным положениям концепции профильной школы, перспективным целям математического образования в школе. Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся ЗНАТЬ УМЕТЬ 1. Определение параметра. 1. Для каждого значения параметра находить все решения линейного и квадратного уравнений (неравенства). 2. Основные виды уравнений и неравенств, содержащие параметр (параметры). 2. Находить все значения параметра при каждом из которых решение линейного и квадратного уравнения (неравенства) удовлетворяет заданным условиям. 3. Что всякая задача с параметром – это целая серия однотипных задач, которые соответствуют всем значениям параметра. 3. Применять при решении уравнений и неравенств с параметрами методы, связанные с расположением корней квадратного трехчлена относительно точки, луча, отрезка. 4. Что решить уравнение или неравенство с параметром значит, для 4. Применять при решении уравнений (неравенств) с параметром 2
каждого значения параметра указать множество всех решений данного уравнения или неравенства. графический метод и метод решения относительно параметра. 5. Понятия “равносильные уравнения”, ”равносильные неравенства”, “следствие уравнения”, ”следствие неравенства”. 6. Преобразования уравнений и неравенств, сохраняющих равносильность или приводящих к следствию уравнения и неравенства. 7. Схемы исследований основных уравнений и неравенств с параметрами.
2. Содержание элективного курса “Линейные, квадратные уравнения и неравенства

с параметрами” для 10-11 классов

2.1. Учебно-тематический план элективного курса “Линейные и квадратные

уравнения и неравенства с параметрами”
Тема Лекция Семинар
1.
Линейные уравнение 0,5 2,5
2.
Линейные неравенства 0,5 2,5
3.
Простейшие рациональные уравнения и неравенства 0,5 2,5
4.

Зачет № 1
1
5.
Квадратные уравнения 0,5 3,5
6.
Теорема Виета 0,5 2,5
7.
Квадратные неравенства 0,5 3,5
8.
Расположение корней квадратного трехчлена: а) Краткие теоретические сведения. Таблица. б) Расположение корней относительно одной точки. в) Расположение корней относительно двух и более точек. г) Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена 1 0,5 0,5 - - 2,5 3,5 4
9.

Зачет № 2
1 3

Всего:

5 час

29 час

2.2. Основное содержание курса
1. Линейные, рациональные уравнения и неравенства с параметрами Линейные уравнения с параметрами. Схема исследования линейных уравнений с параметрами. Уравнения, сводящиеся к линейному виду. Схема исследования линейных неравенств. Арифметический и графический способы решения линейных неравенств с параметрами. Простейшие рациональные уравнения и неравенства. Метод интервалов. Обобщенный метод интервалов. 2. Квадратные уравнения и неравенства Квадратные уравнения с параметрами. Схема исследования квадратных уравнений. Теорема Виета. Квадратные неравенства с параметрами. Схема исследования квадратных неравенств с параметрами. Свойства квадратного трехчлена при решении неравенств. Исследование расположения корней квадратного трехчлена относительно точки или заданного промежутка (схема решения задач). Таблица, описывающая часто встречаемые на практике случаи расположения корней квадратного трехчлена относительно одной и двух точек. Расположение корней двух и более точек. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена.
2.3. Организация и проведение аттестации учеников
Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического и практического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а, значит, и об ожидающей его оценке. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками ее применения поможет ему внести определенные коррективы в учебный процесс (изменить темп и стиль 4
проведения занятий, вернуться к ранее изученному материалу и повторить его, внести изменения в ранее данное индивидуальное задание ученику для домашнего выполнения). Считаю, что по данному курсу следует провести два зачета. Итоговая оценка за курс выставляется с учетом зачетных оценок. На основании [7] разработаны критерии оценок: 1.Оценка «отлично» (5) – учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач, имеющихся прикладной характер; в процессе работы над индивидуальными домашними заданиями ученик продемонстрировал умение работать с литературными источниками; он отличался активным участием на занятиях при обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, ученик отличился творческим подходом и большой заинтересованностью при изучении курса; очевиден и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений. 2.Оценка «хорошо» (4) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием; ученик справился с зачетными работами, проявил чисто компилятивные способности, выполнял (но без проявления явных творческих способностей) домашние задание; можно сказать что оценка «хорошо» - это оценка за усердие и прилежание, которые привели к определенным положительным результатам, свидетельствующим и об интеллектуальном росте, и о возрастании общих умений слушателя курса. 3. Оценка «удовлетворительно» (3) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять домашние задания (пусть при этом проявились его чисто компилятивные способности), при выполнении практических заданий самого простого состава задач ученик справился с 50%-100%. 4. Оценка «неудовлетворительно» (2) – ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса (скорее всего выбор им этого элективного курса оказался ошибкой), он халатно относился к выполнению индивидуальных домашних заданий, дискуссии были для ученика неинтересны, и он уклонялся от участия в них; при выполнении самостоятельных и контрольных работ самого простого состава задач он справлялся всего до 50%.
2.4. Теоретический материал для элективного курса “Линейные и квадратные

уравнения и неравенства с параметрами”
2.4.1. Линейные уравнения с параметрами и схема их исследования Уравнение вида 5
Ах=В, (1) где А, В – выражения, зависящие от параметров, а х - неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами, это представление уравнения называется стандартным. Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметра найти множество всех корней заданного уравнения. Линейное уравнение (1) исследуется по следующей схеме. 1) Если 0  A , то имеем уравнение B x   0 . Тогда если, кроме того, 0  B , то уравнение не имеет решений (    x ), а если В=0, то уравнение имеет вид 0 0   x и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел ( R x  ). 2) Если 0  À , то уравнение имеет единственное решение À Â õ  . Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к стандартному виду (1) и только после этого проводить исследование. Проиллюстрируем теорию на примерах.
Пример 1.
Для всех значений параметра k решить уравнение 1 2 ) 4 (    k x k . Решение. Уравнение уже записано в стандартном виде (1), поэтому проведем его исследование по указанной выше схеме. 1) Если , 0 4   k т. е. , 4   k то уравнение имеет вид . 7 0    x Это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому уравнение не имеет решений:    x . 2) Если , 0 4   k т. е. , 4   k то обе части уравнения можно делить на . 4  k Тогда . 4 1 2    k k x Ответ: если к=-4, то ;    x если , 4   k то 4 1 2    k k x .
П р и м е р

2 .
Д л я в с е х з н ач е н и й п а р а м е т р а а решить ура вне ние . 0 4 3 1 4 3           a x a Решение. Запишем уравнение в стандартном виде . 3 4 1 4 3 a x a          Схема исследования. 6
1 ) . 3 4 0 1 4 3     a a Тогда уравнение имеет вид 0 0   x . Это равенство верно при любом х. Следовательно, решением уравнения будет все множество действительных чисел:  x R. 2) . 3 4 0 1 4 3     a a Тогда . 4 1 4 3 3 4      a a x Ответ: если , 3 4  a то R x  ; если , 3 4  a то 4   x . 2.4.2. Линейные неравенства с параметрами и схема их исследования Неравенства Ax>B, Ax<B, Ax , B  Ax , B  где А, В – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами. Решить неравенство с параметрами – значит, для всех значений параметров найти множество решений неравенства. Неравенство Ах>В решается по следующей схеме. 1) Если А>0, то x> . A B 2) Если A<0, то x< . A B 3) Если А=0, то неравенство имеет вид   x 0 В. При В  0 неравенство не имеет решений; при В < 0 решением неравенства будет множество всех действительных чисел
R
. Остальные неравенства исследуются аналогично. Рассмотрим на практике использование данной теории.
Пример

1.
Д л я в с е х з н ач е н и й п а р а м е т р а k решить неравенство   . 0 1 2 4     k x k Решение. Запишем неравенство в стандартном виде   . 2 1 4 k x k    1) . 4 0 4      k k Тогда     . 4 2 1    k k x 2) . 4 0 4      k k При этом     . 4 2 1    k k x 3) . 4 0 4      k k Неравенство имеет вид . 9 0   x Это неравенство верно при любом х, поэтому его решением будет множество всех действительных чисел: . R x  Ответ: если , 4   k то ; 4 2 1 ;            k k x если , 4   k то ; ; 4 2 1           k k x 7
если , 4   k то . R x 
Пример 2.
Для всех значений параметра р решить неравенство   . 1 1 2    p x p Решение. 1) . 1 0 1     p p Тогда . 1 1 1 2       p x p p x 2) . 1 0 1     p p Тогда . 1 1 1 2       p x p p x 3 ) . 1 0 1     p p Неравенство имеет вид . 0 0   x Это неравенство ни при каком х не выполняется, поэтому .    x Ответ: если р>1, то   ; ; 1    p x если р<1, то   ; 1 ;     p x если р=1, то .    x 2.4.3. Квадратные уравнения с параметрами и схема их исследования Уравнение вида , 0 2    C Bx Ax гд е , A В, С – выражения, зависящие от параметров, , 0  A а х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами. Во множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме. 1) Если 0  A , то имеем линейное уравнение . 0   C Bx 2) Если 0  A и дискриминант уравнения 0 4 2    AC B D , то уравнение не имеет действительных решений. 3) Если 0  A и 0  D , то уравнение имеет единственное решение A B x 2   или, как еще говорят, совпадающие корни A B x x 2 2 1    . 4) Если 0  A и 0  D , то уравнение имеет два различных корня A D B x 2 2 , 1    .
Пример 1.
Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение 0 3 4 ) 1 2 ( 2 ) 1 ( 2       a x a x a а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет один корень. Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому 1 0 1     a a . Рассмотрим дискриминант уравнения ) 4 5 ( 4 ) 3 4 )( 1 ( 4 ) 1 2 ( 4 2        a a a a D . Согласно схеме исследования, имеем: 8
а)                      ; 1 , 5 / 4 1 , 0 ) 4 5 ( 4 1 , 0 a a a a a D б)                ; 5 / 4 1 , 5 / 4 1 , 0 a a a a D в)                . 5 / 4 1 , 5 / 4 1 , 0 a a a a D Ответ: если 5 / 4   a и 1  a , то уравнение имеет два различных корня; если 5 / 4   a , то оно не имеет корней; если 5 / 4   a , то оно имеет один корень.
Пример 2.
При каких значениях параметра а уравнение 0 1 2 ) 6 ( 2     ax x a имеет единственное решение. Решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому надо рассмотреть два случая. 1 ) . 6 0 6      a a При этом получаем линейное уравнение , 0 1 12    x которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить. 2 ) . 6  a В этом случае уравнение является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант ) 6 ( 4 ) 6 ( 4 4 2 2       a a a a D равен нулю, т. е . . 2 , 3 0 6 2 1 2        a a a a Ответ: при   . 3 ; 2 ; 6    a 2.4.4. Теорема Виета При решении задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, важную роль играют следующие теоремы:
Теорема Виета.
Если 2 1 , x x - корни квадратного уравнения , 0 2    C Bx Ax , 0  A то           . , 2 1 2 1 A C x x A B x x
Теорема 1.
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена C Bx Ax   2 были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: . 0 , 0 4 2 1 2       A C x x AC B D 9
При этом оба корня будут положительны, если , 0 2 1     A B x x и оба корня будут отрицательны, если . 0 2 1     A B x x
Теорема

2.
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена C Bx Ax   2 были действительны и оба неотрицательны или оба неположительны, необходимо и достаточно выполнение условий: . 0 , 0 4 2 1 2       A C x x AC B D При этом оба корня будут неотрицательны, если , 0 2 1     A B x x и оба корня будут неположительны, если . 0 2 1     A B x x
Теорема 3.
Для того, чтобы корни квадратного трехчлена C Bx Ax   2 были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение условия: . 0 2 1    A C x x При этом условие 0 4 2    AC B D выполняется автоматически. Приведенные теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием расположения корней квадратного уравнения 0 2    C Bx Ax относительно точки 0  x , т.е. связанных с исследованием их знаков. Кроме того, при решении задач, связанных с теоремой Виета, часто используются следующие равенства: ; 2 ) ( 2 1 2 2 1 2 2 2 1 x x x x x x      ); 3 ) )(( ( ) )( ( 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 3 1 x x x x x x x x x x x x x x          ; 1 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x    ; ) ( 2 ) ( 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 x x x x x x x x     ; 4 ) ( ) ( 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x     ; 4 ) ( 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x     ; 4 ) ( 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 x x x x x x x x      , 2 ) ( 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x x x       2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x     при ; 0 , 0 2 1   x x , 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 x x x x x x x x     10
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x     при . 0 , 0 2 1   x x Замечание. Теорема Виета справедлива и в случае комплексных корней квадратного уравнения, когда дискриминант . 0  D Если в условии задачи никакие ограничения на принадлежность корней квадратного уравнения тому или иному числовому множеству не наложены, то можно считать, что они могут быть и комплексными. Тогда условие 0  D на дискриминант уравнения накладывать не надо. Приведем задания, в которых не требуется непосредственное вычисление корней.
Пример 1.
Не решая уравнения 0 3 ) 1 ( 3 2 2     k x k x , найдите 1 2 1 1    x x , где 2 1 , x x - корни уравнения. Решение. П о т е о р е м е В и е т а , 3 1 2 1    k x x . 3 3 2 2 2 1 k k x x     То гд а . 3 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 k k x x x x x x x x           Ответ: . 3 1 2 k k  
Пример 2.
При каких значениях параметра а уравнение 0 ) 1 ( 2 2 2     a x a x имеет действительные корни, сумма квадратов которых равна 4. Решение.По условию уравнение должно иметь действительные корни, т.е. 0  D , и , 4 2 2 2 1   x x где 2 1 , x x - корни уравнения. Значит,       , 4 , 0 2 2 2 1 x x D , 4 8 4 ) 1 ( 4 2 2      a a a D , 4 8 2 2 ) 1 ( 4 2 ) ( 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1           a a a a x x x x x x т.к. по теореме Виета . ), 1 ( 2 2 2 1 2 1 a x x a x x     Тогда                               . 0 , 4 , 2 / 1 0 8 2 , 2 / 1 4 4 8 2 , 0 4 8 2 2 a a a a a a a a a Отсюда . 0  a Ответ: при . 0  a 11
2.4.5. Квадратные неравенства с параметрами и схема их исследования Неравенства видов 0 2    C Bx Ax ), 0 (  0 2    C Bx Ax ) 0 (  , где А, В, С – выражения, зависящие от параметров, 0  A , а х – неизвестное, называются квадратными неравенствами с параметрами. Неравенство 0 2    C Bx Ax исследуется по следующей схеме. 1) Если 0  A , то имеем линейное неравенство 0   C Bx . 2) Если 0  A и дискриминант 0  D , то, разлагая квадратный трехчлен на множители, получим неравенство , 0 ) )( ( 2 1    x x x x A где 2 1 , x x - корни уравнения . 0 2    C Bx Ax 3) Если 0  A и 0  D , то имеем неравенство . 0 ) ( 2 1   x x A 4 ) Е с л и 0  A и 0  D , т о п р и 0  A решением будет все множество действительных чисел
R
; при 0  A неравенство решений не имеет. Остальные неравенства исследуются аналогично. Часто при решении квадратных неравенств используются следующие свойства квадратного трехчлена C Bx Ax   2 : 1) если 0  A и 0  D , то 0 2    C Bx Ax при всех х; 2) если 0  A и 0  D , то 0 2    C Bx Ax при всех х. При решении многих задач, связанных квадратичной функцией C Bx Ax x f    2 ) ( ( 0  A ), в частности, при решении квадратных неравенств удобно использовать схематическое изображение графика функции ) (x f y  - параболы, которая в зависимости от коэффициента А и дискриминанта D имеет следующие расположения относительно оси абсцисс. 12
На этих рисунках: A B x B 2   - абсцисса вершины параболы; 2 1 , x x - корни уравнения . 0 2    C Bx Ax Из этих рисунков, в частности, видно, что решением неравенства 0 2    C Bx Ax при 0  A , 0  D будет множество
R
; при 0  A , 0  D - множество ); ; ( ) ; (   B B x x  при 0  A , 0  D - интервал ) ; ( 2 1 x x и т.д. При решении квадратных неравенств, а также других задач, связанных с квадратичной функцией, в большинстве случаев достаточно знать лишь расположение графика этой функции относительно оси абсцисс. В таких случаях ось ординат вовсе можно не изображать, как, например, на приведенных выше рисунках. Если же для выполнения какого-нибудь условия задачи важно расположение параболы как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат, то необходимо изображать обе оси координат.
Пример

1.
Д л я в с е х з н ач е н и й п а р а м е т р а р решить неравенство . 0 ) 1 ( 2 2 2     p x p x Решение. Найдем дискриминант ). 1 2 ( 4 4 8 4 ) 1 ( 4 2 2        p p p p D Возможны случаи. 1 ) 0  D , т.е. . 2 / 1 0 1 2      p p Так как коэффициент при 2 x , равный 1, положителен, то неравенство выполняется при всех х, т.е. R x  . 2) 0  D 2 / 1 0 1 2       p p . При этом неравенство имеет вид ). ; ( ) ; ( 0 ) ( 0 2 1 2 1 2 2 1 4 1 2              x x x x 3 ) 0  D . 2 / 1 0 1 2       p p Тогда квадратный трехчлен, расположенный в левой части неравенства, имеет корни , 1 2 1 , 1 2 1 2 1           p p x p p x причем . 2 1 x x  Разлагая этот трехчлен на множители имеем: , 0 ) )( ( 2 1    x x x x откуда методом интервалов находим: ). ; ( ) ; ( 2 1    x x x  Заметим, что случаи 2 и 3 можно объединить. Ответ: если 2 / 1   p , то R x  ; если 2 / 1   p , то ). 1 2 1 ( ) 1 2 1 ; (           p p p p x  13

Пример 2.
При каких значениях параметра а неравенство 0 3 ) 1 ( ) 1 ( 2      x a x a имеет пустое множество решений. Решение. 1 ) Е с л и 1 0 1     a a , т о н е р а в е н с т в о и м е е т в и д . 0 3 0 0 2          x x x Следовательно, значение 1  a удовлетворяет условию примера. 2) Если 0 1   a , то неравенство является квадратным. Оно имеет пустое множество решений тогда и только тогда, когда трехчлен 3 ) 1 ( ) 1 ( 2     x a x a при любом х положителен, т.е.                          . 0 ) 11 )( 1 ( , 1 0 ) 1 ( 12 ) 1 ( , 1 0 , 0 1 2 a a a a a a D a Решая второе неравенство методом интервалов, получим            . 1 11 1 11 , 1 a a a Ответ: при   . 1 ; 11   a 2.4.6. Исследование расположения корней квадратного трехчлена Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка (отрезка, интервала, луча). К таким задачам относятся, например задачи для иррациональных, показательных, тригонометрических уравнений и неравенств. В данном пункте рассмотрим задачи непосредственно для самого квадратного трехчлена C Bx Ax   2 , связанные с расположением его корней на определенных промежутках, и некоторые другие задачи, сводящиеся к ним. Приведем схему решения таких задач. 1. Если коэффициент А при 2 x не число, а зависит от параметров, то решение задачи следует начинать с исследования случая, когда 0  A . При этом получится линейное уравнение (или неравенство), как правило, с конкретными числовыми коэффициентами, решая которое, легко проверить выполнение условий задачи. 2. Считая 0  A , найти дискриминант AC B D 4 2   квадратного трехчлена. Если D есть полный квадрат некоторого выражения (т.е. извлекается D ), то лучше найти корни 2 1 , x x квадратного трехчлена и подчинить их условиям задачи. 3. Если же D не извлекается, то также можно найти корни 2 1 , x x и подчинить их условиям задачи, но при этом, как правило, приходиться решать непростые 14
иррациональные неравенства, которые приводят к большим и утомительным вычислениям. В этом случае лучше использовать графический метод, состоящий из следующих этапов. 1) Графический анализ задачи – выбор тех положений параболы C Bx Ax y    2 ( 0  A ) относительно изучаемых точек, для которых выполняются все условия задачи. При этом следует опираться на рисунки, приведенные в начале предыдущего пункта. Удовлетворяющие условиям задачи положения параболы можно получить, перемещая ее вправо и влево, вверх и вниз, т.е. рассматривая параболу как “плавающую” фигуру, в силу чего данный метод называют еще методом “плавающей параболы”. Иногда для получения более полной информации полезно рассматривать также некоторые случаи расположения параболы, когда часть условий задачи не выполняется. 2) Аналитическое описание подходящих по условиям задачи случаев расположения параболы, которое включает в себя следующие пункты (все или только некоторые): - описание знака коэффициента при 2 x ; - описание знака, а иногда и значения дискриминанта D; - описание знаков, а иногда и значений квадратичной функции C Bx Ax x f    2 ) ( в точках относительно которых исследуется расположение корней функции; - наложение условий на расположение вершины параболы относительно изучаемых точек. В одних случаях при аналитическом описании учитываются все перечисленные пункты, а в других – лишь часть из них. Например, если исследуется расположение корней квадратного трехчлена на луче или в интервале, как в случаях 1, 3, 4 прилагаемой таблицы, то для аналитического описания подходящих положений параболы надо учесть все пункты. Если же рассматривается расположение корней квадратного трехчлена по разные стороны от одной или нескольких точек, как, например, в случаях 2, 7 таблицы, то вершина параболы относительно этих точек может быть расположена как-угодно, поэтому всякое ограничение на расположение вершины параболы относительно изучаемых точек приведет к ошибке, т.е. в этих случаях последний пункт аналитического описания вовсе не должен учитываться. Более того, в этих случаях можно также не учитывать и второй пункт о знаке дискриминанта, так как при выполнении условий первого и третьего пунктов дискриминант всегда больше нуля. Кроме того, в этих случаях нет также надобности рассматривать случай 0  A , когда квадратичная функция вырождается в линейную, и 15
поэтому говорить о ее корнях, расположенных по разные стороны от каких-либо точек, некорректно. 4. В результате аналитического описания удовлетворяющих условиям задачи положений параболы получится одна или несколько систем неравенств, число которых иногда можно сократить, объединив их на основании формул ; 0 0 , 0 0 , 0                              B A B A B A  . 0 0 , 0 0 , 0                              B A B A B A  Такая операция намного сокращает процесс решения задачи. Например, в случае 1 прилагаемой таблицы результатом объединения систем неравенств      0 ) ( , 0 M f A и      , 0 ) ( , 0 M f A соответствующих разным положениям параболы, является одно неравенство , 0 ) (   M f A а результатом объединения всех неравенств – система из трех неравенств, приведенная в последней колонке таблицы. Аналогично, в случае 2 таблицы вместо двух систем      0 ) ( , 0 M f A и      , 0 ) ( , 0 M f A описывающих разные положения параболы, достаточно решить одно неравенство . 0 ) (   M f A В прилагаемой таблице приведены условия, описывающие наиболее часто встречаемые на практике случаи расположения корней квадратного трехчлена относительно одной и двух точек. Доказать эти условия аналитически можно на основе формул Виета. Например, корни 2 1 , x x квадратичной функции C Bx Ax x f    2 ) ( ( 0  A ) действительны и оба меньше М, если                                    0 ) ( ) ( , 0 ) ( ) ( , 0 0 , 0 , 0 , , 0 2 1 2 1 2 1 2 1 M x M x M x M x D M x M x D M x M x D              . 0 ) ( , 0 2 , 0 2 2 1 2 1 2 1 M M x x x x M x x D При переходе к последней системе мы воспользовались первым из следующих равносильных переходов              ; 0 , 0 0 , 0 B A B A B A              . 0 , 0 0 , 0 B A B A B A 16
Так как B x x x   2 2 1 есть абсцисса вершины параболы C Bx Ax y    2 и по формулам Виета A C x x A B x x     2 1 2 1 , , то последнюю систему можно записать в виде                                    . 0 ) ( , , 0 0 ) ( , , 0 0 , 0 2 2 , 0 2 2 2 M f A M x D C BM AM A M x D A M A BM A C M x D B B B Аналогично доказываются и остальные условия из таблицы. № Условия на корни Ветви параболы направлены вверх Ветви параболы направлены вниз Объединенные условия 1 M x M x   2 1 M x M Af D   
B
0 ) ( 0 2 M x M x   2 1 0 ) (  M Af 3 M x M x   2 1 M x M Af D   
B
0 ) ( 0 4 N x M N x M     2 1 N x M N Af M Af D     
B
0 ) ( 0 ) ( 0 5 N x M M x    2 1 0 ) ( 0 ) (   N Af M Af 6 N x N x M    2 1 0 ) ( 0 ) (   N Af M Af 17
7 N x M x   2 1 0 ) ( 0 ) (   N Af M Af В таблице: C Bx Ax x f    2 ) ( , AC B D 4 2   , . 2A B x B   Замечание 1. Если надо исследовать расположение корней квадратного трехчлена относительно точки 0  x , то лучше использовать формулы Виета и теоремы, приведенные в пункте “Теорема Виета”. Замечание 2. При исследовании уравнения 0 2    C Bx Ax в случае 0  A , разделив обе части уравнения на А, можно привести его к виду 0 1 1 2    C x B x с новыми коэффициентами . , 1 1 A C C A B B   Однако исследовать полученное уравнение с дробными коэффициентами бывает не всегда проще, чем исследовать первоначальное уравнение. Учитывая важность изучаемой темы, прежде чем приступить к решению конкретных задач, приведем еще раз в тезисной форме схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена C Bx Ax   2 . 1. Исследование случая 0  A (если А зависит от параметров). 2. Нахождение дискриминанта D в случае 0   A . 3. Если D – полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней 2 1 , x x и подчинение их условиям задачи. 4. Если D не извлекается, то требуется графический анализ задачи. 5. Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются: - знак коэффициента при 2 x ; - знак (значение) дискриминанта; - знаки (значения) квадратичной функции в изучаемых точках; - расположение вершины параболы относительно изучаемых точек. 6. Объединение некоторых неравенств (систем). 7. Решение полученных систем. Рассмотрим примеры расположения корней квадратного трехчлена относительно одной точки. Задачу можно решить несколькими способами. Один такой пример приводится ниже. 18

Пример

1.
П р и к а к и х з н ач е н и я х п а р а м е т р а а корни уравнения 0 1 ) 1 ( 2 2 2       a a x a x расположены на луче ). ; 2 (   Решение.1-й способ (непосредственное нахождение корней). . 4 ) 1 ( 4 ) 1 ( 4 2 2 a a a a D       Уравнение имеет корни . 1 , 1 2 1 a a x a a x         По условию задачи: . 2 , 2 2 1     x x Так как , 1 2 x x  то при выполнении неравенства 2 1   x неравенство . 2 2   x выполняется подавно, поэтому достаточно решить неравенство 2 1   x , т.е.                                0 1 3 , 1 , 0 ) 1 ( , 0 1 , 0 1 2 1 2 2 a a a a a a a a a a a a                             . 0 2 5 3 2 5 3 , 1 0 a a a Методом интервалов находим: Следовательно, . 2 / ) 5 3 ( 0    a 2-й способ (использование формул Виета). По условию задачи имеем:                                                   . 0 4 ) ( 2 , 0 4 , 0 0 ) 2 ( ) 2 ( , 0 ) 2 ( ) 2 ( , 0 0 2 , 0 2 , 0 2 , 2 , 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x D x x x x D x x D x x D По формулам Виета: . 1 ), 1 ( 2 2 2 1 2 1        a a x x a x x Следовательно,                            . 0 1 3 , 1 , 0 0 4 ) 1 ( 4 1 , 0 4 ) 1 ( 2 , 0 4 2 2 a a a a a a a a a Получили ту же систему, что и при решении первым способом, поэтому . 2 / ) 5 3 ( 0    a Ответ: при . 2 / ) 5 3 ( 0    a Рассмотрим примеры расположения корней квадратного трехчлена относительно двух и более точек. Задачи, в которых исследуются расположения корней квадратного трехчлена относительно двух и более точек, можно разбить на несколько более простых задач о расположении корней трехчлена относительно отдельных точек. Например, задачу о 19
расположении корней квадратного трехчлена на отрезке   N M ; можно рассматривать как “пересечение” двух частных задач: 1) о расположении корней трехчлена на луче   N ;   и 2) о расположении корней трехчлена на луче    ; M . Однако такой способ решения основной задачи трудоемок и неэффективен. Лучше решать ее непосредственно, придерживаясь схемы, приведенной в начале пункта.
Пример

1
. П р и ка к и х з н ач е н и я х п а р а м е т р а m корни уравнения 0 1 2 2 2     m mx x заключены между числами -2 и 4. Решение. Дискриминант уравнения 2 2 2 2 4 4 4 4      m m D есть полный квадрат. Найдем корни уравнения: 1 , 1 2 1     m x m x . Эти корни удовлетворяют заданному условию, если . 3 1 5 1 , 3 3 4 1 2 , 4 1 2                          m m m m m Ответ: при ). 3 ; 1 (   m
П р и м е р

2 .
П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а у р а в н е н и е 0 ) 1 3 ( ) 2 ( 2      a x a x a имеет корни, удовлетворяющие неравенствам . 2 , 1 2 1   x x Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда 1 1  x и . 2 2  x По условию примера, график функции a x a x a x f      ) 1 3 ( ) 2 ( ) ( 2 может иметь лишь следующие расположения: 0 2   a 0 2   a Тем самым, имеем условия                                                . 2 , 10 0 ) 10 )( 2 ( , 0 ) 3 )( 2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( , 0 ) 1 ( ) 2 ( 0 ) 2 ( , 0 ) 1 ( , 0 2 0 ) 2 ( , 0 ) 1 ( , 0 2 a a a a a a f a f a f f a f f a  2 ) Р а с с м о т р и м т е п е р ь с л у ч а й , ко гд а о д и н к о р е н ь 2 2  x , т . е . 10 0 10 0 ) 2 (         a a f . Из формулы Виета 2 2 1   a a x x , где 2 2  x , 10   a , найдем корень 12 5 1  x , который удовлетворяет неравенству 1 1  x . Следовательно, при 10   a условие примера выполняется. С учетом этого получаем Ответ: при          ; 2 10 ;  a . 20

2.5. Методика проведения элективного курса “Линейные и квадратные уравнения и

неравенства с параметрами”
2.5.1. Тема: “Линейные уравнения с параметрами” Цель: ввести понятие линейного уравнения с параметрами; ввести схему исследования линейного уравнения с параметрами; научить учащихся решению линейных уравнений с параметрами; развить умение анализировать, рассуждать в процессе решения; привить внимательность. На изучение данной темы отводится 3 часа. Первое занятие проводится в форме лекции. Теория изложена в п.2.5.1. В качестве домашнего задания можно предложить номера: №№ 1 - 3. Второй час – урок-практикум, на нем надо прорешать следующие номера: №№ 4 - 8. №5. Для всех значений параметра а решить уравнение 1 1 2     a a x a a . Решение. Если 1  a , то уравнение не имеет смысла, поэтому    x . Если 1  a , то 0 1   a и, умножив обе части уравнения на 1  a , получим 1 3   a ax . 1) Если 0  a , то уравнение имеет вид 1 0    x , откуда   x . 2) 0  a . Тогда a a x 1 3   . Ответ: если 0  a или 1  a , то   x ; если 0  a и 1  a , то a a x 1 3   . № 7 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р о в а и b у р а в н е н и е 0 3 2 ) 1 2 (       b a x b a имеет не менее двух различных решений. Решение. Относительно множества решений любого линейного уравнения возможны лишь следующие случаи: решение единственно, нет решений и множество решений совпадает с множеством
R
, поэтому если линейное уравнение имеет не менее двух различных решений, то обязательно множество решений уравнения совпадает с
R
. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при x и свободный член уравнения одновременно равны 0, т.е.                         . 2 , 2 1 3 2 , 1 2 0 3 2 , 0 1 2 b a b a b a b a b a Ответ: при , 2 1  a b=2. 21
В качестве домашнего задания можно предложить: составить свои задания по данной теме и решить их. Задания должны быть разнообразными. Свои задания сдать учителю накануне следующего занятия. Учитель к следующему уроку анализирует задания учеников и составляет карточки на 4 группы. Примерное содержание одной карточки. 1. Для всех значений параметров а и b решить уравнение b a x a 3 4 ) 2 (    . 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых решение уравнения ax a x 4 3 5 2    не больше 2. 3. Найти все значения параметра а, для которых уравнение ) 2 ( 1    x a x имеет решение, принадлежащее множеству ) 1 ; (  . 4. При каких значениях параметра а все решения 4 ) 2 ( 2 2    a x a a уравнения принадлежат промежутку   2 ; 1  . На третьем часе класс разбивается на 4 группы. Каждая группа получает карточку с заданиями. Количество заданий соответствует количеству человек в группе. Если возникают вопросы, то ученик обращается к составителю задания, который не решает, а даёт консультацию. В конце урока каждая группа отчитывается учителю о проделанной работе. В качестве домашнего задания можно предложить номера: №№9 - 11. 2.5.2. Тема: “ Линейные неравенства с параметрами” Цель: ввести понятие линейного неравенства с параметрами; ввести схему исследования линейного неравенства с параметрами; обучить учащихся решению линейных неравенств с параметрами; развить умение анализировать, рассуждать в процессе решения; применять полученные знания на практике. На данную тему отводится 3 часа. Первое занятие проводится в форме лекции. Теория по данной теме изложена в п.2.5.2. В качестве домашнего задания можно предложить номера: №№12 - 14. Второй и третий уроки по данной теме проводятся в форме практикума. Можно предложить прорешать следующие задания: №№15 - 20. №18. При каких значениях параметров а и b неравенство b a x b a      5 4 ) 1 ( не имеет решений. 22
Решение. В д а н н о м с л у ч а е н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о , ч т о б ы                           4 9 , 1 0 ) 1 ( 5 4 , 1 0 5 4 , 0 1 b b a b b b a b a b a и л и , ч т о р а в н о с и л ь н о ,                  . 4 5 , 1 0 ) 1 ( 5 4 , 1 a a b a a a b Ответ: при b a   1 , 4 9  b (или 4 5   a , a b   1 ). №20. При каких значениях параметра m неравенство 0 4 ) 1 (     m x m выполняется для всех   1 ; 2   x . Решение. Графический способ. Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы график ) (x f y  линейной функции 4 ) 1 ( ) (     m x m x f , в зависимости от знака и значения 1  m имел схематически одно из следующих расположений относительно промежутка   1 ; 2  : 0 1   m 0 1   m 0 1   m 0 1   m Следовательно, во всех случаях                    . 2 2 5 0 5 2 , 0 2 0 ) 1 ( , 0 ) 2 ( m m m f f Ответ: при 2 2 5    m . В качестве домашнего задания можно предложить задания: №№21 - 25. 2.5.3. Тема: “Простейшие рациональные уравнения и неравенства с параметрами” Цель: применение ранее полученных знаний на практике; привить внимательность при решении; развить умение анализировать, рассуждать в процессе решения. На изучение данной темы отводится 3 часа. Первое занятие – повторение. Повторить с учащимися какие уравнения и неравенства называются рациональными, основные способы решения данных уравнений и неравенств, ОДЗ. 23
Второе, третье занятие: наиболее лучший вариант- проведение сразу двух уроков. Учитель заранее консультирует пять сильных учеников класса. Прорешивает вместе с ними те задания, которые будут предложены ученикам на практическом занятии. Класс делится на 5 групп. Сильные ученики-консультанты, каждый в своей группе будет выступать в роле учителя. Консультант должен помогать своей группе, наводить на путь решения, но не в коем случаи решать задания сам. На практическом занятии могут быть предложены следующие задания: №№26 - 30. №26. Для всех значений параметра а решить уравнение     . 0 3 3 2 4      a x a x a x Решение. Уравнение равносильно системе                               . 3 , 3 2 , 4 0 3 , 0 3 2 , 0 4 a x a x a x a x a x a x Возможны случаи. 1) . 0 3 4     a a a Тогда система примет вид                . 3 0 , 3 , 0 x x x x 2) . 3 3 3 2       a a a Тогда                . 12 9 , 9 , 12 x x x x 3 ) . 3 , 0   a a Тогда , 3 3 2 , 3 4 a a a a       поэтому уравнение имеет два решения a x 4  и . 3 2    a x Ответ: если а=0, то х=-3; если а=3, то х=12; если 0  à и 3  a , то   . 3 2 ; 4    a a x №27. Для всех значений параметра а решить неравенство   . 0 2 1 2 2      a x a x Решение. Неравенство равносильно системе                  . 2 , 2 1 0 2 , 0 1 2 a x a x a x a x Возможны случаи. 1) . 1 2 2 1      a a a Тогда Отсюда . 2 1 a x   2) . 1 2 2 1      a a a 24
Отсюда . 2   a x Так как а-2=1-2=-1, то х<-1. 3)1 . 1 2 2      a a a Отсюда     . 2 1 ; 2 2 ; a a a x        Ответ: если а<1, то     ; 2 1 ; 2 2 ; a a a x        если а=1, то   ; 1 ;     x если а>1, то   . 2 1 ; a x     В качестве самостоятельного решения дома можно предложить задания: №№31 - 33. Также подготовиться к зачету по всем темам, которые изучили. Зачет №1 На зачет отводится 1 час. Зачет проходит в виде контрольной работы. Для контрольной работы разрабатываются корточки двух вариантов. Примерное содержание одного из вариантов: №№ 34 – 38. 2.5.4. Тема: “Квадратные уравнения с параметрами” Цель: ввести понятие квадратного уравнения с параметрами; ввести схему исследования квадратного уравнения с параметрами; развить у учащихся интерес к предмету. На данную тему отводится 4 часа. Первый урок проводится в форме лекции. Теория изложена в п.2.5.3. Для домашнего задания можно предложить задания: №№ 39, 40. Остальные 3 урока проходят в форме практикума, где отрабатываются навыки, умения решения квадратных уравнений с параметрами. Для этого класс делится на 3 группы. В каждой группе выбирается ответственный. Он заранее берет у учителя карточку своей группы с заданиями, Прорешивает её, если возникают вопросы – обращается к учителю. На следующем занятии ответственные у групп меняются, т.е. каждая группа прорешивает 3 карточки. Карточка может состоять из заданий: №№41 – 45. № 4 2 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р о в а и b у р а в н е н и е 0 3 4 ) 4 ( ) 6 ( 2 2 2          a a x b a x a a имеет не менее трех различных решений. 25
Решение. Если квадратное или линейное уравнение имеет более двух различных решений, то оно обязательно имеет бесконечное множество решений, совпадающее с
R
. Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение имеет вид 0 0 0 0 2      x x , т.е.                                     . 1 , 3 3 , 1 , 4 , 3 , 2 0 3 4 , 0 4 , 0 6 4 3 2 1 2 2 b a a a a b a a a a b a a a Ответ: при 1 , 3    b a . №44. Определить все значения параметра а, при которых уравнения 0 1 2    ax x и 0 2    a x x имеют хотя бы один общий корень. Решение. Предположим, что уравнения имеют общий корень 0 x x  . Тогда          , 0 , 0 1 0 2 0 0 2 0 a x x ax x откуда, вычитая второе уравнение из первого, получаем 1 ) 1 ( 0    a a x . 1) Если 1  a , то последнее уравнение всегда выполняется. При этом оба исходных уравнения совпадают и имеют вид 0 1 2    x x . Это уравнение действительных корней не имеет. 2) Если 1  a , то 1 0  x . Подставив 1 0  x в любое из уравнений системы, находим 2   a . При этом исходные уравнения имеют вид 0 1 2 2    x x и 0 2 2    x x . Эти уравнения имеют общий корень 1  x . Ответ: 2   a Домашнее задание на эти 3 урока может состоять из следующих заданий: 46 – 51. 2.5.5. Тема: “Теорема Виета” Цель: повторить и углубить ранее изученное по теме “Теорема Виета”; вывести равенства связанные с Теоремой Виета; развить у учащихся интерес к предмету. На данную тему отводится 3 часа. Первый урок по данной теме проводится в форме лекции. Теория изложена в п.2.5.4. На домашнее решение можно предложить номера: №№52, 53. Второй, третий урок рекомендуется провести в форме практикума. Предложить учащимся следующие задания: №№54 – 57. №54. При каких значения параметра m уравнение 0 20 2    m mx x имеет действительные корни, отличающиеся друг от друга на 9. 26
Решение. П о у с л о в и ю 0  D и 9 2 1   x x и л и 9 1 2   x x , т . е . 81 4 ) ( 81 ) ( 9 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1          x x x x x x x x . Так как m m D 80 2   , а по формулам Виета m x x   2 1 , m x x 20 2 1   , то имеем:               . 1 , 81 81 80 81 80 , 0 80 2 1 2 2 2 m m m m m m m m Ответ: при   1 ; 81   m . №56. Составить квадратное уравнение, имеющее корни 1 1  x и 2 2  x , если 2 1 , x x - корни уравнения 0 2 2    c bx ax . Решение. По формулам Виета a b x x 2 2 1   , a c x x  2 1 . Квадратное уравнение с корнями 1 1  x и 2 2  x имеет вид 0 )) 1 ( ))( 1 ( ( 2 1      x x x x a , ; 0  a ; 0 ) 1 )( 1 ( ) 2 ( 2 1 2 1 2        x x a x x x a ax ; 0 ) ( 2 ) ( 2 1 2 1 2 1 2         a x x a x ax ax x x x a ax ; 0 2 2 2 2       a a b a a c a ax x a b a ax 0 2 ) ( 2 2       c b a x b a ax . Ответ: 0 2 ) ( 2 2       c b a x b a ax , 0  a . В качестве домашнего задания можно предложить следующие номера: №№ 58 – 60. 2.5.6. Тема: “Квадратные неравенства с параметрами” Цель: ввести понятие квадратного неравенства с параметрами; ввести схему исследования квадратного неравенства с параметрами; повторить расположение параболы относительно осей координат в зависимости от коэффициента А и дискриминанта D. На данную тему отводится 4 часа. Первый час проводится в традиционной форме – в форме лекции. Теория изложена в п.2.5.5. В качестве домашнего задания можно предложить: №№61, 62 и подготовить карточку с четырьмя заданиями и прорешать их. Данные карточки заранее сдаются учителю. Учитель из этих заданий готовит самостоятельную работу на 3 варианта из трех заданий на 30 минут. Задания могут быть аналогичны тем, которые прорешивали на уроке. 27
Второй, третий часы по этой теме проходят следующим образом: каждый ученик получает карточку своего варианта, после 30-40 минут учащиеся меняются с соседями своими работами. Т.е. на данных уроках каждый прорешивает до 6 заданий. После проверки учащиеся ставят оценки, работы сдают учителю. Для самостоятельного домашнего решения можно предложить задания: №№63 – 65. Четвертый час – урок консультация. 2.5.7. Тема: “Расположение корней квадратного трехчлена. Краткие теоретические сведения” Цель: рассмотреть наиболее часто встречаемые на практике случаи расположения корней квадратного трехчлена относительно одной и двух точек. На эту тему отводится 1 час. Форма проведения – лекция. Материал для лекции изложен в п.2.5.6. 2.5.8. Тема: “Расположение корней квадратного трехчлена относительно одной точки” Цель: применение теоретических знаний на практике по данной теме. На данную тему отводится 3 часа. В начале первого урока необходимо повторить теоретический материал, а также прорешать следующие задания: №№66 – 68. №66. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена a x x   2 различны и не больше а. Решение. Найдем дискриминант a D 4 1   . Учитывая, что D не извлекается, решим пример графически. Сделаем графический анализ. Так как корни 2 1 , x x функции a x x x f    2 ) ( различны и a x a x   2 1 , , то ее график может иметь лишь следующие расположения. 2 1   B x Опишем эти графики аналитически. 28
                                     2 1 2 , 4 1 2 1 , 0 2 , 0 4 1 , 0 ) ( , 0 2 a a a a a a a a x a f D B или . 4 1 0 , 0     a a Ответ: при        4 1 ; 0 a . № 6 7 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а ко р н и у р а в н е н и я 0 5 3 ) 2 1 ( 2      a ax x a расположены по разные стороны от точки 1  x . Решение. С л у ч а й 0 2 1   a , когда уравнение имеет лишь один корень, невозможен, а в случае 0 2 1   a парабола ) (x f y  в зависимости от знака a 2 1  может иметь лишь следующие расположения: Аналитически эти графики описываются системами       , 0 ) 1 ( , 0 2 1 f a       , 0 ) 1 ( , 0 2 1 f a (1) совокупность которых равносильна одному неравенству 5 , 0 0 ) 4 2 )( 2 1 ( 0 ) 1 ( ) 2 1 (         a a a f a или 2  a . Ответ: при ) ; 2 ( ) 2 / 1 ; (     a . Замечание. Обратите внимание на то, что в системе (1) условие 0  D и условие на местоположение вершины параболы относительно точки 1  x отсутствуют. Первое условие 0  D является следствием неравенств, составляющих эти системы, поэтому его в системы можно не включать. Второе условие вовсе не должно включаться в системы, так как вершина параболы относительно точки 1  x может иметь любое положение, поэтому какие-либо ограничения на местоположение этой вершины могут привести к ошибке. На самостоятельное домашнее решение предложить задания: №№69, 70. На втором и третьем уроках возможно прорешать задания: №№ 71 – 79. №71. При каких значениях параметра а уравнение 0 6 ) 3 ( 2      a x a x имеет хотя бы один корень на луче   2 ;   . Решение. Возможны два случая. 29
1) Все корни уравнения расположены на луче   2 ;   . График функции 6 ) 3 ( ) ( 2      a x a x x f в этом случае может иметь следующие расположения относительно точки 2  x : 2 3   a x B Эти графики описываются аналитически условиями                                      . 5 1 , 4 , 0 ) 3 )( 5 ( 2 2 3 , 4 , 0 15 2 2 , 2 ) 2 ( , 0 2 a a a a a a a a a x f D B 2) Один из корней уравнения расположен на луче   2 ;   , а другой – на луче ) ; 2 (  . . 4 0 4 0 ) 2 (       a a f Ответ:          ; 4 5 ;  a . №76. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 3 ) 4 3 ( 2 2      a x a x удовлетворяют условию 0 ) 2 ( 2   x a . Решение. Если 0  a , то неравенство 0 ) 2 ( 2   x a ни при каком х не выполняется, поэтому если даже исследуемое квадратное уравнение при некоторых 0  a имеет решения, все равно эти решения не могут удовлетворить неравенству 0 ) 2 ( 2   x a . Таким образом, условие задачи может быть выполнено лишь при 0  a . Неравенство 0 ) 2 ( 2   x a при 0  a равносильно условию 2  x . Методом от противного найдем, при каких 0  a хотя бы один корень квадратного уравнения равен 2, т.е.                                 . 7 0 , 7 , 1 0 , 0 7 6 0 , 0 ) 2 ( 2 a a a a a a a a f Тогда если уравнение разрешимо и 0  a , 7  a , то его корни удовлетворяют условию задачи, т.е.                      . 7 , 0 7 , 0 , 0 28 24 5 7 , 0 , 0 2 a a a a a a a a D 30
Ответ: при 0  a и 7  a . В качестве домашнего задания предложить: составить задания по данной теме и прорешать их. 2.5.9. Тема: “Расположение корней квадратного трехчлена относительно двух и более точек” Цель: применение и обобщение теоретических знаний на практике. На эту тему отводится 4 часа. На первом уроке необходимо повторить и обобщить теоретические сведения, а также прорешать задания: №№80 – 82. №80. При каких значения параметра m корни уравнения 0 1 2 2 2     m mx x заключены между числами -2 и 4. Решение. Дискриминант уравнения 2 2 2 2 4 4 4 4      m m D есть полный квадрат. Найдем корни уравнения: 1 , 1 2 1     m x m x . Эти корни удовлетворяют заданному условию, если . 3 1 5 1 , 3 3 4 1 2 , 4 1 2                          m m m m m Ответ: при   . 3 ; 1   m В качестве домашнего задания можно предложить задания: №№83, 84. Оставшиеся 2 часа проводятся в форме практического занятия, на котором прорешиваются следующие номера: №№85 – 92. №90. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 3 ) 3 ( 2      a x a ax не имеет корней на отрезке   1 ; 1  . Решение. 1) Если 0  a , то уравнение имеет вид: 3 1 0 1 3      x x . При этом условие примера не выполняется. 2) Если 0  a и дискриминант 9 2 11 2     a a D отрицателен, то уравнение вообще не имеет корней. Это имеет место при выполнении условий                                 ). ; 1 ( 11 9 ; 0 ) 11 9 )( 1 ( , 0 0 9 2 11 , 0 2  a a a a a a a 3 ) П р и 0  D условие примера выполняется, если корни функции 1 3 ) 3 ( ) ( 2      a x a ax x f либо одновременно меньше -1, либо одновременно больше 1, либо один из них меньше -1, а другой больше 1. Согласно таблице, приведенной в теории, эти случаи определяются условиями 31
; 5 4 ; 11 9 1 2 3 , 0 ) 4 5 ( , 0 9 2 11 1 , 0 ) 1 ( , 0 2                                      a a a a a a a x af D B ; 1 ; 3 2 1 2 3 , 0 ) 2 3 ( , 0 9 2 11 1 , 0 ) 1 ( , 0 2                                 a a a a a a a x af D B . 0 ) 2 3 ( , 0 ) 4 5 ( 0 ) 1 ( , 0 ) 1 (                   a a a a a af af С учетом всех случаев имеем Ответ: при . ; 3 2 5 4 ;                   a На домашнее решение можно предложить: №№93 – 96. Четвертый урок – урок консультация. 2.5.10. Тема: “Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена” Цель: закрепить и углубить знания и умения учащихся; развить внимательность; отработать навыки решения. На данную тему отводится 4 часа. Считаю, что все уроки нужно провести в форме практикума. Предложить следующие задания: №№97 – 108. На домашнее самостоятельное решение можно предложить: №№109 – 115. №98. При каких значениях параметра а уравнение a x x x x      1 9 2 2 имеет четыре разных корня. Решение. О б о з н а ч и м y x x    1 2 и п е р е п и ш е м у р а в н е н и е в в и д е             . 0 , 0 9 ) 1 ( 9 1 2 y y a y a y y Решим сначала следующую вспомогательную задачу: при каких значениях параметра у уравнение 0 1 1 2 2         y x x y x x имеет два различных решения. Это будет тогда, когда 4 3 0 3 4 ) 1 ( 4 1 1         y y y D . 32
Переформулируем теперь задачу: при каких значениях параметра а квадратный трехчлен 9 ) 1 ( ) ( 2     y a y y f имеет два разных корня 4 / 3 , 4 / 3 2 1   y y . С помощью таблицы имеем систему неравенств:                                                , 2 3 1 , 4 51 1 , 6 1 4 3 2 1 , 0 9 4 3 ) 1 ( 16 9 , 0 36 ) 1 ( 4 3 , 0 ) 4 3 ( , 0 2 a a a a a a y f D B откуда получаем Ответ: 4 / 47 5   a . №99. При каких значениях параметра а уравнение 0 9 ) 1 )( 4 ( 1 2 2        a x x a x x имеет хотя бы один положительный корень. Решение. Обозначим t x x   1 . Тогда 2 2 ) 1 ( 1 2 2 2 2       t x x x x и уравнение примет вид 0 7 ) 4 ( 2      a t a t . Так как для положительных х переменная 2 1    x x t , то задача равносильна следующей новой задаче: при каких а уравнение 0 7 ) 4 ( 2      a t a t имеет хотя бы один корень на луче    ; 2 . Возможны случаи. 1) Все корни функции 7 ) 4 ( ) ( 2      a t a t x f расположены на луче    ; 2 : 2 4 a t B   Эти графики описываются аналитически условиями                                    , 0 , 3 , 0 ) 2 )( 6 ( 2 2 4 , 0 3 , 0 12 4 2 , 0 ) 2 ( , 0 2 a a a a a a a a t f D B откуда . 2 3     a 2) Один корень функции 7 ) 4 ( ) ( 2      a t a t x f расположен на промежутке ) 2 ; (  , а другой – на луче    ; 2 . 33
. 3 0 3 0 ) 2 (        a a f Ответ: 2   a . №104. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 0 2    a ax x верно при всех 1  x . Решение. Обозначим 2 / , ) ( 2 a x a ax x x f B     . 1 ) Е с л и ) 4 ; 0 ( 0 ) 4 ( 4 2        a a a a a D , то заданное н е р а ве н с т во выполняется при всех х и, в частности, при ) 1 ; 1 (   x . 2) Пусть           ; 4 0 ; 0  a D . Заданное неравенство будет выполняться при всех ) 1 ; 1 (   x , если корни квадратного трехчлена имеют следующее расположение: 1 , 1 2 1     x x или 1 , 1 2 1   x x . Следовательно, имеем две системы . 1 2 , 0 1 2 , 4 , 0 1 , 0 ) 1 ( , 0                                a a a a a x f D B . 4 . 1 2 , 0 1 , 4 , 0 1 , 0 ) 1 ( , 0                             a a a a a x f D B Ответ: ) ; 0 (   a . Зачет №2 Зачет проводится в форме контрольной работы, разработанной на 2 варианта. Примерные задания одного из вариантов: №№116 – 119. 34

Список использованных источников
1. Александров Б.И., Максимов В.М., Лурье М.В., Колесниченко А.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. М.: Изд-во МГУ, 1972. - 608 с. 2. Алимов М.А. Алгебра: Учебник для 7 класса ср. школы - М: Просвещение, 1999г. 3. Алимов М.А. Алгебра: Учебник для 8 класса ср. школы - М: Просвещение, 2001г. 4. Алимов М.А. Алгебра: Учебник для 9 класса ср. школы - М: Просвещение, 2002г. 5. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами. Минск: «Асар», 1996. – 464 с. 6. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. Дрофа, 1999г. 7. Бусев В. Элективные курсы: вопросы и ответы. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2007, №2, - с. 2-5. 8. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1988. – 240 с. 9. Виленкин Н. Я. Алгебра: для 8 класса. // Учеб. Пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М: Просвещение, 1995г. 35
10. Горбачев В.И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Брянск, 1998. 11. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. Москва-Харьков: «Илекса», «Гимназия», 1998. – 336 с. 12. Готовимся к ЕГЭ: математика. Курган,2007. 13. Дорофеев Г.В. Алгебра: Учебник для 8 класса ср. школы. М: Просвещение, 2001г. 14. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. Львов, 1991.-103 с. 15. Дубин С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2001, №36, - с. 28-31. 16. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами.//Математика в школе. 17. Егерман Е. Задачи с параметрами. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2003, №№1 - 3,№5. 18 Единый государственный экзамен. Математика, 2002 - 2007. М: Просвещение. 19. Епифанова Г.Н. Графические методы решения задач с параметрами.// Математика в школе, 2003, №7. 20. Кондолова А. Уравнение и неравенства с модулем. // Математика: еже - недельное приложение к газете «Первое сентября», 2003, №42, - с26-28. 21. Косякова Т. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2004, №№ 25-28. 22. Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметр. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2001, №36, - с. 19-22. 23. Крамор В.С Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М: Просвещение, 1990. 24. Красова Е. Задачи с параметрами. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2003, №43, - с.20. 25. Креславская О. Задачи с параметрами в итоговом повторении. // Математика: еженед. приложение к газете «Первое сентября», 2004, №18. 26. Кузовлев А. Расположение корней квадратного трехчлена при решении задач с параметрами. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2004, №34, - с. 19-27. 27. Лебедева В., Хенкин Д. Задачи с параметрами. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2003, №48, - с. 13-14. 36
28. Макарычев Ю.Н. Алгебра.// Учебник для 7 класса ср. школы - М: Просвещение, 2001г. 29. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 8 класса ср. школы - М: Просвещение, 2000г. 30. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 9 класса ср. школы - М: Просвещение,2001г. 31. Мордкович А. Г. Алгебра: Учебник для 8 класса ср. школы/. - М: Мнемозина, 2001г. 32. Мордкович А. Г. Алгебра: Учебник для 9 класса ср. школы/. - М: Мнемозина, 2000г. 33. Мордкович А.Г., Суходский A.M. Справочник школьника по математике. - М: Оникс – Альянс, 1999г. 34. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. Пособие. – 3-е изд., доп., перераб. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004. – 176 с. 35. Параметр против абитуриента. Кто-кого?// Пособие по математике для поступающих в вуз. Курган, 1999г. 36. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. М.: Наука, 1992. – 480 с. 37. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Математика для абитуриента. М.: НТЦ “Университетский”, 1994. – 160 с. 38. Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. Пособие для поступающих в ВУЗы. М.: МП “Русь-90”, 1995. – 160 с. 39. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под редакцией Сканави М.И. М.: Высшая школа, 1980. - 541 с. 40. Тиняков Г.А., Тиняков И.Г. Задачи с параметрами. // Математика: еже - недельное приложение к газете «Первое сентября», 1994, №12. 41. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. М.: МЦНМО, 1998.- 864 с. 42. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Наука, 1984. – 416 с. 43. Шабунов М.А. Неравенства и системы неравенств с параметрами. // Математика: еженедельное приложение к газете «Первое сентября», 2003, №32 - с. 30-32. 44. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса. М.: Просвещение, 1989. – 252 с. 45. Шарыгин И.Ф., Голубев В.Н. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. М.: Просвещение, 1991. – 384 с. 37
46. Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметрами. М.: Издательство СЛОГ, 1993. 47. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986. – 128 с. 48. 514 задач с параметрами. Под ред. Тынякина С.А. Волгоград: Волгоградская правда, 1991. – 160 с.
Приложение
Задания 1. Для всех значений параметра р решить уравнение 0 1 10 25 ) 1 5 ( 2      p p x p . 2. Для всех значений параметра а решить уравнение 1    x a ax . 3. При каких значениях параметров а и b уравнение 0 2 ) 4 3 (      a b x b a не имеет решений. 4. Для всех значений параметра р решить уравнение 1 ) 1 ( 3 2    p x p . 5. Для всех значений параметра а решить уравнение 1 1 2     a a x a a . 6. При каких значениях параметра а уравнение 3 2 ) 1 ( 2 2     a a x a имеет единственное решение, принадлежащее лучу     ; 1 . 7. При каких значениях параметров а и b уравнение 0 3 2 ) 1 2 (       b a x b a имеет не менее двух различных решений. 8. При каких значениях параметров а и b уравнение 1 ) 2 (     b a x b a не имеет решений. 9. Для всех значений параметра а решить уравнение 1 2 1 2     a x a a . 10. При каких значениях параметров а и b уравнение 0 1 3 ) 6 (      a x b a имеет по крайней мере два различных корня. 38
11. При каких значениях параметра а множество решений уравнения 2 2 6 ) 2 ( a a x a a      содержит промежуток   2000 ; 1  . 12. Для всех значений параметра k решить неравенство 0 1 3 ) 1 (     k x k . 13. Для всех значений параметра m решить неравенство 0 1 2 ) 1 ( 2     m x m . 14. Найти все значения параметра а, для которых н е р а в е н с т в о 0 4 ) 6 5 ( 2 2      a x a a не имеет решений. 15. Для всех значений параметров а и b решить неравенство a b x a    ) 2 ( . 16. Найти область определения функции x a x x f      5 2 1 ) ( . 17. При каких значениях параметра а неравенство 5 2 ) 3 2 ( 3 2     a x a a выполняется для всех х. 18. При каких значениях параметров а и b неравенство b a x b a      5 4 ) 1 ( не имеет решений. 19. При каких значениях параметра а любое решение неравенства a x a    3 ) 1 2 ( принадлежит промежутку   2 ;   . 20. При каких значениях параметра m неравенство 0 4 ) 1 (     m x m выполняется для всех   1 ; 2   x . 21. Найти область определения функции x a x x f     1 2 ) ( . 22. Найти все значения параметров а и b, для которых неравенство 2 ) 1 2 (     a x b a выполняется для всех х. 23. Найти все значения параметра b, для которых неравенство 0 2 3 ) 1 (     b x b выполняется для всех 1   x . 24. При каких значениях параметра а любое решение неравенства 0 1 2     a x ax удовлетворяет условию a x  . 25. Для всех значений параметра а решить неравенство 1 13 8 ) ( 3      x a x a ax . 26. Для всех значений параметра а решить уравнение     . 0 3 3 2 4      a x a x a x 27. Для всех значений параметра а решить неравенство   . 0 2 1 2 2      a x a x 28. Для всех значений параметра а решить неравенство 1 1    x a . 29. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 0 2 3 2      a x a x выполняется для всех   2 ; 1  x . 39
30. Найти все значения параметра p, при каждом из которых неравенство 0 1 3 2      p x p x ни для одного значения   1 ; 0  x не выполняется. 31. Для всех значений параметра а решить уравнение 0 1 6 5 2      a x x x . 32. Для всех значений параметра а решить неравенство 0 2    a x a x . 33. 29. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 0 2 1     a x a x выполняется для всех   2 ; 1  x . 34. Найти все значения параметра а, при каждом из которых все решения уравнения 6 3 6 3    ax a x больше 1. 35. Для всех значений параметра а решить неравенство 6 9 3 3 2 1 2 2 x a x a x a      . 36. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 0 ) 1 2 )( 3 ( 1       a x a x выполняется для всех ) 2 ; 0 (  x . 37. При каких значениях параметра а любое решение неравенства 0 1    x ax удовлетворяет условию 1  x . 38. Для всех значений параметра а решить уравнение 0 ) 1 (    a x a . 3 9 . Д л я в с е х з н а ч е н и й п а р а м е т р а а р е ш и т ь у р а в н е н и е 0 3 4 ) 2 4 ( ) 1 ( 2       a x a x a . 40. Для всех значений параметра а решить уравнение 0 2 5 3 2 2    a ax x . 41. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 ) 1 ( ) 2 ( 2 2       x a x a a не имеет решений. 4 2 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р о в а и b у р а в н е н и е 0 3 4 ) 4 ( ) 6 ( 2 2 2          a a x b a x a a имеет не менее трех различных решений. 43. Для всех значений параметра а решить уравнение 0 2 2 ) 1 ( 2      a ax x a . 44. Определить все значения параметра а, при которых уравнения 0 1 2    ax x и 0 2    a x x имеют хотя бы один общий корень. 45. Найти все целые значения параметра n, для которых уравнение 0 2 ) 1 2 ( 2      n x n nx имеет рациональные корни. 46. Для всех значений параметра а решить уравнение 0 ) 1 3 ( ) 3 ( 2      a x a x a . 47. Найти все значения параметра m, для которых выражение 36 ) 1 ( 2    x m m x является полным квадратом. 40
4 8 . П р и к а к и х ц е л ы х з н ач е н и я х п а р а м е т р а k корни у р ав нения 0 2 ) 2 1 ( 2      k x k kx рациональны. 49. При каком целом значении параметра p уравнения 0 4 2    p x x и 0 5 2 2    px x имеют общий корень. Найти этот корень. 5 0 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р о в а, b, с у р а в н е н и е 0 1 ) 2 ( ) 2 ( 2         c b a x c a x b a имеет бесконечное множество решений. 51. Найти все целые значения параметра а, для которых уравнение 0 1 ) 2 ( 2     x a x a не имеет решений. 52. Не решая уравнения 0 2 ) 1 2 ( 2     x a ax , найти 2 2 2 1    x x , где 2 1 , x x - корни уравнения. 5 3 . П р и ка к и х з н ач е н и я х п а р а м е т р а а сумма корней у р авнения 0 1 ) 1 ( 2 2     x a x равна сумме квадратов корней. 54. При каких значения параметра m уравнение 0 20 2    m mx x имеет действительные корни, отличающиеся друг от друга на 9. 5 5 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а квадратное у р а в не ние 0 1 ) 2 ( ) 1 ( 2       a x a x a имеет действительные корни, произведение которых меньше 1. 56. Составить квадратное уравнение, имеющее корни 1 1  x и 2 2  x , если 2 1 , x x - корни уравнения 0 2 2    c bx ax . 5 7 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а квадратное у р а в не ние 0 3 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2       a x a x a имеет а) корни разных знаков; б) корни одного знака; в) положительные корни. 5 8 . П р и к а к и х ц е л ы х з н ач е н и я х п а р а м е т р а k корни у р ав нения 0 1 ) 2 3 ( 4 2 2      k x k x действительны и их сумма больше 1,25. 59. При каких положительных значениях параметра р корни уравнения 0 4 ) 3 ( 4 5 2 2      p x p x противоположны по знак. 60. При каких значениях параметра а больший корень уравнения 0 1 2    ax x отличается от меньшего на 5. 61. Для всех значений параметра а решить неравенство 0 2 ) 1 ( 2    x a . 62. Для всех значений параметра а решить неравенство 0 1 ) 1 ( 2     x a ax . 63. При каких значениях параметра а квадратный трехчлен 1 3 ) 1 ( 2     a x x a всегда положителен. 41
64. При каких значениях параметра m неравенство 1 3 2 2 1 2 2      x x mx x выполняется для всех х. 65. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение неравенства 0 2 2 ) 1 3 ( 2 2      a a x a x удовлетворяющее условию 0 2   a x . 66. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена a x x   2 различны и не больше а. 67. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 5 3 ) 2 1 ( 2      a ax x a расположены по разные стороны от точки 1  x . 6 8 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а у р а в н е н и е 0 18 2 ) 13 6 ( ) 1 2 ( 2 2        a x a a x a имеет разные корни 2 1 , x x , удовлетворяющие неравенствам 2 , 2 2 1   x x . 69. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 9 2 2 6 2 2      a a ax x больше 3. 70. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 2 3 ) 2 ( 2     a ax x a не меньше 2 1 . 71. При каких значениях параметра а уравнение 0 6 ) 3 ( 2      a x a x имеет хотя бы один корень на луче   2 ;   . 72. При каких значениях параметра а уравнение 0 2 ) 5 2 ( ) 1 ( 2       a x a x a имеет один корень на луче     ; 2 . 73. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 2 ) 2 ( 2      a ax x a не имеет корней, удовлетворяющих неравенству 1   x . 74. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 9 6 ) 3 ( 2      a ax x a имеет не более одного корня, удовлетворяющего неравенству 1  x . 75. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 ) 3 2 ( ) 2 ( 2      a x a x a расположены по одну сторону от точки 1   x . 76. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 3 ) 4 3 ( 2 2      a x a x удовлетворяют условию 0 ) 2 ( 2   x a . 77. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 3 2 ) 2 ( 2     a ax x a положительны. 78. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 2     a ax x имеет различные корни, расположенные на промежутке   2 ;   . 42
79. При каких значениях параметра а уравнение 0 ) 3 ( 2 ) 4 ( 2      a x a x a имеет два различных корня, удовлетворяющих неравенству 1  x . 80. При каких значения параметра m корни уравнения 0 1 2 2 2     m mx x заключены между числами -2 и 4. 81. При каких значения параметра а корни уравнения 0 2 ) 1 ( 2     a ax x a расположены на промежутке   4 ; 2  . 82. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена 1 2   ax x различны и лежат на отрезке   2 ; 0 . 83. При каких значения параметра а один корень уравнения 0 1 2    x ax больше 2, а другой меньше 2. 84. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения 0 3 ) 1 2 ( ) 1 ( 2 2      x a x a лежат по разные стороны от точки 1 0  x . 85. При каких значения параметра а уравнение 0 ) 1 3 ( ) 2 ( 2      a x a x a имеет корни, удовлетворяющие неравенствам 2 , 1 2 1   x x . 86. При каких значения параметра а уравнение 0 4 3 ) 4 ( ) 1 ( 2       a x a x a имеет ровно один корень на отрезке   2 ; 0 . 87. При каких значения параметра а функция 2 2 ) ( 2 2      a a ax x x f имеет хотя бы один корень на промежутке   0 ; 1  . 88. При каких значения параметра а корни уравнения 0 1 2 ) 2 ( 2      a ax x a расположены по одну сторону от отрезка   1 ; 2   . 89. При каких значения параметра а уравнение 0 2 ) 4 ( 2 2      a x a x имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству 2 1   x . 90. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 3 ) 3 ( 2      a x a ax не имеет корней на отрезке   1 ; 1  . 91. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 0 ) 5 ( ) 3 ( 2      a x a x a расположен на промежутке   1 ; 1  , а другой – в интервале   2 ; 1 . 92. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 2 ) 3 ( 2      a x a x имеет корни, один из которых принадлежит промежутку   0 ; 2  , а другой – интервалу ) 3 ; 1 ( . 93. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 2 ) 1 ( 2     a ax x a удовлетворяют условиям 0 3 2 , 1 1     x x . 94. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 0 5 ) 3 2 ( ) 1 ( 2 2        a x a x a a меньше 1, а другой не меньше 1. 43
95. При каких значениях параметра а уравнение 0 6 2 ) 4 ( 2      a x a x имеет ровно один корень на луче    ; 1 . 96. При каких значениях параметра а уравнение 0 ) 3 2 ( ) 2 ( 2      a x a x a не имеет корней на луче   1 ;   . 97. При каких значениях параметра а уравнение 0 3 2 2 ) 2 ( 2 4      a ax x a имеет два различных решения. 98. При каких значениях параметра а уравнение a x x x x      1 9 2 2 имеет четыре разных корня. 99. При каких значениях параметра а уравнение 0 9 ) 1 )( 4 ( 1 2 2        a x x a x x имеет хотя бы один положительный корень. 100. При каких значениях параметра а уравнение 0 4 3 ) 4 ( ) 1 (       a x a x a имеет один корень, удовлетворяющий неравенству 4  x . 101. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 3 cos ) 3 ( cos 2      a x a x a не имеет решений. 102. При каких значениях параметра m неравенство 0 6 2 2     m m mx x выполняется для всех ) 2 ; 1 (  x . 103. При каких значениях параметра а неравенство 0 3 ) 1 ( 2     x a ax выполняется для всех 2  x . 104. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 0 2    a ax x верно при всех 1  x . 105. При каких значениях параметра а каждое решение неравенства 0 2 3 2    x x будет содержаться среди решений неравенства 0 3 ) 1 3 ( 2     x a ax . 106. При каких значениях параметра а неравенство 0 3 ) 3 2 ( ) 1 ( 2       a x a x a выполняется хотя бы для одного значения 1  x . 107. При каких значениях параметра а все решения неравенства 0 4 3 2    x x являются решениями неравенства 0 2   a x . 108. При каких значениях параметра m из неравенства 0 ) 1 3 ( 2     m x m x следует неравенство 1  x . 1 0 9 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а к о р н и у р а в н е н и я 0 4 3 ) 4 ( ) 1 ( 2       a x a x a расположены на промежутке   2 ; 1  . Найти эти корни. 44
11 0 . Н а й т и в с е з н ач е н и я п а р а м е т р а а, при которых у р а в н е н и е 0 4 ) 3 ( 2 ) 2 ( 2      a x a x a имеет два корня, причем один из них больше 3, другой меньше 2. 111. При каких значениях параметра k один из корней уравнения 0 2 2    kx kx по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1. 112. При каких значениях параметра а уравнение 0 2 2    ax x разрешимо и лишь один корень удовлетворяет условию 3 1   x . 113. При каких значениях параметра а уравнение 0 ) 1 2 ( ) 1 ( 2      a x a x a имеет хотя бы один корень, удовлетворяющий условию 2 1    x . 114. При каких значениях параметра а уравнение 0 1 ) 2 ( ) 1 ( 2      x a x a имеет ровно один корень на промежутке   2 ; 0 . 115. При каких значениях параметра а уравнение 0 3 4 ) 1 4 ( ) 1 ( 2       a x a x a не имеет корней на отрезке   1 ; 1  . 1 1 6 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а а квадратное ура вне ние 0 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2       a x a x a имеет корни разных знаков. 117. При каких значениях параметра а выражение a x ax 4 7 2   всегда отрицательно. 1 1 8 . П р и к а к и х з н а ч е н и я х п а р а м е т р а m н е р а в е н с т в о 0 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2       m x m x m выполняется для всех х. 119. При каких значениях параметра а корни уравнения 0 ) 2 5 ( ) 1 ( 2      a x a x a расположены по одну сторону от точки 1  x . Ответы
1
. если 5 1   p , то ; R x  если 5 1   p , то 1 5    p x .
2.
если 1  a , то ; R x  если , 1  a то 1  x .
3.
5 4   a и 4 3    a b (или 3 4    b a и 5 8   b ).
4
. если 1  p , то ;    x если 1   p , то ; R x  если , 1   p то 1 1 2     p p p x .
5
. если 0  a или 1  a , то   x ; если 0  a и 1  a , то a a x 1 3   .
6
. при   . ; 2 ) 1 ; 1 ( ) 1 ; (        a
7
. при , 2 1  a b=2.
8
. при a b a 2 , 1     (или 2 , 2    b b a ).
9
. если 1   a , то ; R x  если 45
2   a , то ;    x если 2   a и 1   a , то . 2 2    a a x
10
. . 3 1 6 , 3 1   b a
11
. 2   a .
12
. если 1   k , то            1 1 3 ; k k x ; если 1   k , то ; ; 1 1 3           k k x если 1   k , то .   x
13
. е с л и 1   m и л и 1  m , т о ; ; 1 1 2 2           m m x е с л и 1 1    m , то ; 1 1 2 ; 2            m m x если 1   m , то ; R x  если 1  m , то .   x
14
. 2   a .
15
. если b a , 2   - любое, то ; 2 ;            a a b x если b a , 2   - любое, то ; ; 2           a a b x если 2 , 2    b a , то ; R x  если 2 , 2    b a , то .   x
16
. если 3   a , то ; ) (    f D если 3   a , т о   ; 1 ) (   f D е с л и 3   a , т о   5 2 ; 1 ) (    a f D .
17
. при 1  a .
18
. при b a   1 , 4 9  b (или 4 5   a , a b   1 ) .
19.
при 2 / 1   a .
20
. при 2 2 5    m .
21
. е с л и 2 / 1   a , т о   ; ; 1 ) (    f D е с л и 2 / 1   a , т о     ; 2 ) ( a f D .
22
. 1 2 , 2     a b a .
23
. 1 75 , 0   b .
24
. .    a
25
. если 10   a , то ; 10 1 5 ;            a a x если 10   a , то ; ; 10 1 5           a a x если 10   a , то .   x
26
. если а=0, то х=-3; если а=3, то х= 1 2 ; е с л и 0  à и 3  a , т о   . 3 2 ; 4    a a x
27
. е с л и а< 1 , т о     ; 2 1 ; 2 2 ; a a a x        если а=1, то   ; 1 ;     x если а>1, то   . 2 1 ; a x    
28
. если 0  a , то   ; ; 1 ) 1 ; (       a x  если 0  a , то ); ; 1 ( ) 1 ; (       x е с л и 0  a , т о   ) ; 1 ( 1 ;         a x .
29
.         3 ; 2 1 a .
30
.        1 ; 3 2 p .
31
. если 4   a , то ; 2  x если 3   a , то ; 3  x если 4   a и 3   a , то   3 ; 2  x .
32
. если 0  a , то ); ; 2 ( ) ; (     a a x  если 0  a , то ) ; ( ) 2 ; (     a a x  .
33
. ) 2 ; 1 (  a .
34
. .    a
35
. если 3  a , то ; R x  если 3   a , то ;    x если 3   a или 3  a , то ; 3 1 ;           a x если 3 3    a , то          ; 3 1 a x .
36
.   3 ; 5 , 1  a .
37
. 1 2     a .
38
. если 0  a или 1  a , то ;    x если 0  a и 1  a , то 1   a a x .
39
. если 5 / 4   a , то 46
;    x если 1  a , то ; 6 / 7   x если 5 / 4   a , то ; 3 / 1   x если            ; 1 1 ; 5 4  a , т о 1 4 5 ) 1 2 ( 2 , 1       a a a x .
40
.         3 ; 2 a a x д л я л ю б о г о а.
41
. п р и   ) ; 3 ( 1 ;       a .
42
. при 1 , 3    b a .
43
. если 1  a , то ; 2 / 3  x если 2  a , то ; 2  x если 2  a , то ;    x если 2  a и 1  a , то 1 2 2 , 1     a a a x .
44
. 2   a .
45
. ) 1 (   m m n , где ,... 1 , 0  m
46
. если 3   a , то ; 8 / 3  x если ) 1 ; 5 / 1 (  a , то ;    x если 5 / 1  a , то ; 4 / 1  x если 1  a , то ; 2 / 1  x если ) ; 1 ( ) 5 / 1 ; 3 ( ) 3 ; (        a , т о ) 3 ( 2 1 6 5 1 3 2 2 , 1       a a a a x .
47
. 3 , 4    m m .
48
. ) 1 (    n n k , ,... 1 , 0  n
49
. 1 , 3   x p .
50
. 4 , 1 , 2     c b a .
51
. ) ; 3 / 8 ( ) 0 ; (     a .
52
. 4 / ) 1 4 ( 2  a .
53
.   2 / 1 ; 1  a .
54
. п р и   1 ; 81   m .
55
. п р и       ; 5 / 4 ) 1 ; (  a .
56
. 0 2 ) ( 2 2       c b a x b a ax , 0  a .
57
. если ) 1 ; 3 (   a , то уравнение имеет корни разных знаков; если   6 / 7 ; 1 ) 3 ; (     a , то оно имеет корни одного знака; если ) 3 ; (    a , то оно имеет положительные корни.
58
. 2  k .
59
. 2  p .
60
. 21   a .
61
. если 1   a , то     ; ; ) 1 /( 2 ) 1 /( 2 ;        a a x  если 1   a , то    x .
62
. если 1  a , то ); ; / 1 ( ) 1 ; (      a x  если 1 0   a , то ); ; 1 ( ) / 1 ; (       a x если 0  a , то ); ; 1 (    x если 0  a , то ) / 1 ; 1 ( a x    .
63
. при ). 2 / 13 ; (    a
64
. при ). 2 ; 6 (   m
65
. ). 0 ; 2 (   a
66
. при        4 1 ; 0 a .
67
. при ) ; 2 ( ) 2 / 1 ; (     a .
68
. при   2 ; 2 / 1 ) 1 ; (      a .
69
. . ; 9 11         a
70
.        2 ; 17 16 a
.

71
.          ; 4 5 ;  a .
72
. п р и 1 3 4     a .
73
. п р и 2   a .
74
. п р и             ; 1 28 3 ;  a .
75
. при                4 9 ; 2 4 5 ;  a .
76
. при 0  a и 7  a .
77
.   2 ; 3    a .
78
.   1 ; 2 ) 2 ; (      a .
79
. ) 2 / 9 ; 4 (  a .
80
. при   . 3 ; 1   m
81
. при                 ; 4 9 1 9 4 ; 0   a .
82
. 2 2 5     a .
83
.         0 ; 4 3 a .
84
. ) 1 ; 3 (    a .
85
. при   ) ; 2 ( 10 ;       a .
86
. при   0 ; 3 / 4   a .
87
. при                   2 5 1 ; 1 2 5 1 ; 2  a .
88
. при            ; 2 4 1 ; 2  a .
89
. при ) ; 16 (   a . 47

90
. п р и . ; 3 2 5 4 ;                   a
91
. п р и ) ; 2 ( ) 8 ; (       a .
92
. п р и   2 / 1 ; 4 / 11    a .
93
. п р и     ) ; 9 ( 9 ; 4 1 ; 0     a .
94
.   1 ; 3    a .
95
.     2 2 3 ;      a .
96
.     ; 2 a .
97
. п р и     6 2 ; 2 / 3   a .
98
. 4 / 47 5   a .
99
. 2   a .
100
.   0 ; 3 / 4   a .
101
. ) ; 3 / 2 ( ) 5 / 4 ; (      a .
102
.            3 2 4 ; 2 45 7 m .
103
.   0 ; 3 4 7    a .
104
. ) ; 0 (   a .
105
.   2 / 1 ;    a .
106
. ) ; 4 / 3 (   a .
107
.     ; 16 a .
108
.    m .
109
. 2 , 0 ; 3 / 1 , 1      x a x a .
110
. ) 5 ; 2 (  a .
111
. ) ; 1 (   k .
112
.     2 2 3 / 11 ; 3   a .
113
.      ; 8 / 1 a .
114
.   ) ; 2 / 9 ( 8     a .
115
. ) ; 9 / 5 ( ) 3 ; (       a .
116
. ) 1 ; 3 (   a .
117
. ) 4 / 7 ; (    a .
118
. ) 3 / 1 ; (   m .
119
.   3 / 1 ; 1    a . 48