Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования Республики Башкортостан Управление образования администрации муниципального района Туймазинский район муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы с.Карамалы-Губеево
Обучение решению задач на проценты в курсе

математики основной школы
Автор учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ СОШ с.Карамалы-Губеево Хамидуллина Эльмира Фаниловна 2015 год
Содержание ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3 Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.........................................................…..5
I.1.

Особенности

учебника

математики

авторов

Ю.Н.Виленкина,

В.И.Жохова, А.С.Чеснокова и С.И.Шварцбурда.
5
I.2. Понятие процента, основные задачи на проценты.
6
I.3. Изучение темы «Проценты» в современной школе
7 I . 4. Вывод к 1 главе…………………………………………………………10 Глава II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ……..11
II.1. Методические рекомендации изложения темы «Проценты » для V-IX

классов.
11
II.2. Методические рекомендации к проведению урока- повторения «Задачи

на проценты» в IX классе.
17
II.3. Результеты исследования
20 II.4.Вывод ко 2 главе… ……………………………………………… ……………… 22 ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................23 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................24 ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.
Тема
моей научно-исследовательской работы «Обучение решению задач на проценты в курсе математики основной школы». Данная тема
актуальна
тем, что в школьном курсе эта тема изучается в V – VI классе, но в силу возрастных особенностей школьников не может быть полностью освоена, но большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.
Объект
исследования. Задачи на проценты в курсе математики основной школы.
Предмет
исследования. Обучение решению задач на проценты в курсе математики 5-6 классов, алгебры VII – IX классов.
Цель
данной работы состоит в разработке некоторых методических рекомендаций по изучению и повторению темы «Проценты»
Задачи данной работы:
1. Провести анализ содержания учебников математики с точки зрения изложения темы «Проценты». 2. Разработать методические рекомендации по изучению и повторению темы «Проценты». 3. Анализировать результаты исследования.


Структура научно-исследовательской работы.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, использованной литературы и приложения. Во введении я показала актуальность данной темы, в первой главе старалась раскрыть особенности учебника по математике авторов Н.Я.Виленкина и др., историческое понятие процента и изучение данной темы в школьном курсе математики. Во второй главе предложила из опыта работы некоторые методические 3
рекомендации по изложению темы «Проценты» и проведения урока-повторения в IX классе, показала результаты исследования.
Гипотеза
: Обучение решению задач на проценты будет более эффективным, если: 1. Формирование понятия процента начать в V – VI классе. 2. Рассматривать различные типы задач на проценты 3. Использовать символическую наглядность, как при формировании понятия процента, так и при изучении основных типов задач.
Методы
исследования: 1. Изучение учебно-методической и математической литературы. 2. Анализ учебника. 3. Исследование в 9 классе. 4. Наблюдение во время проведения занятий с учащимися. 5. Систематизация знаний.
Теоретическое и практическое значение данной темы
1. Работа может использоваться как методическая помощь учителю. 2. Основные типы задач на проценты и методические рекомендации помогут при подготовке к ГИА по математике. 3. Раскрытие понятия процента для использования в реальной жизни. 4

Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В

КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.

I.1. Особенности учебника математики авторов Н.Я.Виленкина,

В.И.Жохова, А.С.Чеснокова и С.И.Шварцбурда.
В основной общеобразовательной школе для обучения используются учебник математики авторов Н.Я.Виленкина, В.И.Жохова, А.С.Чеснокова и С.И.Шварцбурда 1 Математика-5, Математика-6. Содержание учебника полностью соответствует современным образовательным стандартам. Он рекомендован Министерством образования и науки Российской Федерации для преподавания математики в общеобразовательных учреждениях Основные идеи этого курса – это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей. Одним из главных является то, что большое внимание уделяется арифметике, формированию вычислительной культуры в ее современном понимании, включены задания по комбинаторике и теории вероятности. Сделан упор на обучение арифметическим, логическим приемам решения текстовых задач. В учебниках принята следующая система подачи материала. Теоретический материал каждой главы разбит на параграфы и пункты, которые завершаются перечнем упражнений. Предложенные упражнения распределены для работы в классе по теме данного пункта, повторения ранее пройденного материала (некоторые для самостоятельной работы), домашней работы, развития логического мышления, внимательности, наблюдательности. В большинстве пунктах содержатся примеры и пояснения для развития правильной математической речи. Во всех главах выделен пункт «Исторические сведения», в которых предлагается материал об истории возникновения и развития математики. Это позволяет сделать знания учащихся более прочными, пробудить интерес к математике. Для более успешного усвоения материала в каждый пункт входят вопросы для повторения и задания для устной работы. Дидактические материалы содержат дополнительный набор упражнений, организованных в виде 1 Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд - группа авторов учебника математики 5
самостоятельной работы с заданиями разного уровня сложности. Материал может быть использован на различных этапах изучения темы и для различных групп учащихся. В учебниках принят методически правильный порядок изучения тем. Имеются задания геометрического характера. В содержании курса алгебры VII – IX классов под редакцией С.А.Теляковского уделено внимание дальнейшему развитию вычислительной культуры школьников, обучению различным приемам выполнения действий с дробями, в том числе с использованием калькулятора, вычислению процентов и вероятностно- статистических характеристик. Отбор учебного материала и выбор методических подходов в учебниках осуществляется с учетом возможностей и особенностей детей данного возраста, что способствует более глубокому и осмысленному пониманию данных вопросов. В связи с этим авторы курса переносят рассмотрение некоторых тем на более поздние сроки. Это позволяет изучить практически значимый и интересный для детей материал, который позволяет говорить о математике, как о части общечеловеческой культуры.
I.2. Понятие процента.
Слово «процент 2 » означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин 3 . В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось 2 «процент» - от латинского слова pro centum 3 Симон Стевин- инженер из г. Брюгге, Нидерланды 6
исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента (см. схему 1).
I. 3. Изучение темы «Проценты» в современной школе
. Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научиться решать основные задачи на проценты, представлять их в виде десятичных и обыкновенных дробей. Традиционно тема «Проценты» изучается в рамках младших классов среднего звена. Тема «Проценты» изучается в V классе. Перед введением понятия «процент» автор предлагает рассмотреть примеры: «Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – аром. Принято называть сотую часть любой величины процентом». Рассматриваются три основные задачи на проценты. (см схему 2, 3) Пример 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика? Решение: 1200 костюмов составляют 100% 1) 1200:100 =12 костюмов составляет 1%. 2) 12 * 32=384 костюма нового фасона выпустила фабрика. Ответ. 384 костюма. 7
Пример 2. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе? Решение: Неизвестное число – 100%. 1) 12:30=0,4 всех учеников составляет 1%. 2) 0,4 *100=40 учеников составляет 100%. Ответ. В классе 40 учеников. Пример 3. Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем? Решение: 1800 га поля составляют 100%. 1) 558:1800=0,31 всего поля составляет 1%. 2) 0,31*100=31% поля засажен картофелем. Ответ. 31% поля. Однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он обладает определенными преимуществами: а) проще для выполнения вычислений; б) приучает учащихся к выделению числа, принимаемого за 100%; в) требует проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не включают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты. Можно рассматривать задачи вида «… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти: 1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина; 2) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины» Пример 8. До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения – 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника? Решение: 8
Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р. Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: 250 20 =0,08=8% Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%. Далее тема «Проценты» изучается в VI классе. Здесь рассматриваются те же виды задач, но решение осуществляется уже алгебраическим способом (составление линейных уравнений). Авторы формулируют правила нахождения части от целого и целого по его части: «1) чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь (соответствующее этой части); 2) чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь». Повторяется понятие процента как одной сотой части числа (величины). Все три типа задач на проценты решаются сначала арифметическим способом, а затем их решают, на основе свойств пропорциональности. Рассматриваются также задачи, в которых нужно увеличить (уменьшить) число на некоторое число процентов
.
Проценты также используются при изучении диаграмм. Здесь же рассматриваются задачи на части, смеси и сплавы. Мне кажется, что задачи такого типа для шестиклассников сложны. Поэтому не каждый учитель захочет рассматривать такие сложные задачи со всем классом и очень важный пласт задач останется не рассмотренным. Но это очень важные задачи, которым следует уделить должное внимание, возможно, в старшем возрасте. В учебнике также уделяется внимание работе с калькулятором при решении задач на проценты. Для данного вопроса разработаны упражнения. В старших классах тема проценты рассматривается в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. В старших классах операции с процентами применяются в большинстве случаях на уроках химии, которая внедряет свой взгляд на проценты. Поэтому вопросы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения постепенно забываются учащимися. 9

I.4. Вывод к 1 главе.
Итак, учащиеся не осознавая рассуждают над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении задач на проценты применяется лишь при решении сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Я думаю, нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений. 10

Глава II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.

II.1. Методические рекомендации изложения темы «Проценты ».
Впервые о процентах учащиеся узнают в V классе. Проценты предлагается рассматривать после изучения десятичных дробей. «Что такое процент» - это первая тема, изучаемая линией. На данном этапе нужно сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Процент определяется как одна сотая часть некоторой величины. Причем перед введением определения следует рассмотреть примеры употребления процентов. Не стоит торопиться приступать к решению задач на нахождение процента от некоторой величины. Нужно дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию. Через систему упражнений учебника ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»: 25% величины - это 4 1 данной величины; половина некоторой величины – это 50%; 30% величины втрое больше, чем 10% и т.п. Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами: 3 1 больше, чем 25%; 12 7 некоторой величины больше 50% этой величины; 23% меньше четверти; вся величина – это 100% и т.д. Я предлагаю учащимся упражнения (в виде самостоятельных работ, дополнительных индивидуальных заданий), направленные на осознанное усвоение материала.
№ 1
. Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом: 1. 100% учащихся школы а) половина всех учащихся школы 2. 25% учащихся школы б) все учащиеся школы 3. 10% учащихся школы в) четверть всех учащихся 11
4. 50% учащихся школы г) десятая часть всех учащихся. С самого начала освоения понятия учащимся рекомендуется давать больше заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Такого типа упражнения не встречаются в учебниках.
№2.
Какая часть прямоугольника заштрихована (см. рис. 1)? Выразите эту часть в процентах Учащихся также нужно познакомить с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации.
№ 3 .
Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения: а) 10 уфимцев из каждых 100 нуждаются в улучшении жилья; б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам и постоянно читают их; в) из каждых 100 новорожденных 52 – мальчики; г) из каждых 100 жителей г.Туймазы 15 имеют домашних животных. Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознанно владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент, а потом несколько процентов этой величины. Для успешного усвоения материала можно предложить учащимся формулировки некоторых задач в развернутом виде, т.е. к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько вопросов. Так привлекается их внимание к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.
№4.
Средняя зарплата в Башкортостане в середине 2011 г. составляла 15000 р. К концу года она увеличилась на 40%. 1) На сколько рублей увеличилась средняя зарплата? 2) Какой стала зарплата к концу года? Изучение процентов связывается с десятичными дробями. После изучения десятичных дробей и операций над ними водится понятие процента. Прежде чем приступить к решению задач, нужно рассмотреть с учащимися правило и упражнения на перевод процентов в десятичную дробь. 12
«Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100 или, что то же самое, умножить на 0,01»
№ 5.
Выразить десятичной дробью: а) 2,5%, 18,3%, 1,6%, 54,5%; б) 0,1%, 0,5%, 0,3%, 0,7%; в) 120%, 137%, 240%, 350%. Далее в VI классе предлагается рассмотреть разные способы решения той или иной задачи. При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений нужно включить новые задачные ситуации.
№6.
В сплав входят медь, олово, сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл? («Деление в данном отношении»)
№ 7.
За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше? («Прямая и обратная пропорциональность»)
№

8.
Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость? («Решение задач с помощью пропорций») Также учащиеся знакомятся с задачами более сложными.
№9.
В избирательном округе 2500 избирателей. В голосовании приняли участие 1300 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в голосовании? Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем – в процентах. Не следует торопиться приступать к решению новых задач. Рекомендуется предложить систему упражнений, в которых предлагается выразить дробь (обыкновенную или десятичную) в процентах.
№ 10.
Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах: а) бензином заполнили 10 9 бака; б) 5 2 учащихся школы едут в школу на автобусе; 13
в) масса сушеной вишни составляет 25 6 массы свежей вишни; г) магазин продал 20 17 привезенного сахара. Одна из особенностей развития вычислительной техники состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычислений. При изучении процентов я предлагаю учащимся задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины. Для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равно 19% от какой-либо величины, то находят 20% этой величины, т.е. ее пятую часть.
№11.
Часть фигуры заштрихована (см. рис 2). Определите, какой примерно процент фигуры заштрихован, выбрав наиболее подходящий ответ из данных. В первой главе учебника алгебры VII класса в упражнениях для повторения помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из пятого и шестого классов и продвинуться в решении задач. Учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный способ рассуждения для себя. Кроме задач на нахождение процента от величины, на уроках я рассматриваю с учащимися задачи на нахождение величины по известному ее проценту.
№

12.
После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 рубля. Сколько стоила книга до повышения цены? Решение. Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту. Рассуждать можно по-разному: 1) 1% – это 52: 130=0,4(руб.), а 100% – это 0,4* 100=40(руб.); 2) 10% – 52:13=4(руб.), 100% – это 4*10=40(руб.); 3) 130% – это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40(руб.). 14
Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что решения ряда задач можно запомнить в виде опорных схем.
№13.
Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк? Решение. Пусть х руб. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.; 0,11(х+800) руб. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы. Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство: 0,11(х+800)=220. При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно и нужно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.
№ 14.
В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решите задачу, используя следующий план: 1. Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли. 2. Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора. 3. Определите количество соли в получившемся растворе. 4. Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах. 5. Составьте систему и решите ее. По теме «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений. В IX классе подводится итог повторением о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются лишь материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. 15
Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты. В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.
№15.
Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости. а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 2 года; за 10 лет; за n лет? б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций? В ходе решения предлагаемых задач учащиеся видят конкретное математическое знание, необходимое для жизни. Проценты также используются в V – VI классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VII – IX классах – при изучении вероятно-статистического материала.
№

16.
На диаграмме показано, какой процент составляет тот или иной вид изделий от всей продукции ателье по пошиву мужской одежды. а) Какова основная продукция данного ателье? б) Какого цвета пиджаки ателье производит меньше всего? больше всего? в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета? г) Какой из следующих ответов может показывать , сколько процентов всех изделий составляют жилеты: 26%, 17%, 10%, 6%? (см.рис.3)
№ 17.
Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания): 16
П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О,О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П,О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З. Буквами обозначены: З – Золотая рыбка; К – Карась; Л – Лещ; О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь. а) Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке. б) Составьте таблицу относительных частот. в) Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки? г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод. С помощью богатого задачного материала учащиеся могут увидеть все разнообразие применения данного математического термина «процент».
II.2. Методические рекомендации к проведению урока-повторения на тему

«Задачи на проценты» в IX классе.
В курсе алгебры VII – IX класса задачам на проценты не уделяется должного внимания. В то же время учащиеся владеют разнообразными способами решения текстовых задач. Данный урок-повторение поможет учащимся вспомнить понятие процента, решение основных задач на проценты, расширить кругозор учащихся, повысит интерес к математике. На уроке рекомендуется для решения некоторых задач использовать калькулятор, чтобы облегчить вычислительную работу и научится использовать калькулятор в рамках процентных вычислений. Можно провести два занятия.На первом занятии нужно вспомнить с учениками определение процента, примеры употребления процентов, историю возникновения понятия, как найти один процент (несколько процентов) от некоторой величины. В начале занятия можно предложить учащимся боле простую задачу. Задача 1.1. Куртка стоит 250 р. На весенней распродаже ее можно купить на 33% дешевле. Сколько можно сэкономить, если купить куртку на распродаже? 17
Можно рассмотреть решение этой задачи двумя способами, в которых отражаются различные методы нахождения р% от некоторой величины. 1 способ: сначала найти 1%, а затем 33%. 5 82 33 100 250 ,   2 способ: выразить 33% десятичной дробью и найти 0,33 данной величины. 5 82 33 0 250 , ,   Также можно предложить учащимся задание на перевод обыкновенных и десятичных дробей в проценты, так как это часто вызывает трудности. Задача 1.2. Даны квадраты (см. рис. 4), ответить на вопросы. 1. Какая часть квадрата заштрихована? 2. Выразите заштрихованную часть десятичной дробью. 3. Сколько процентов квадрата заштриховано? 4. Сколько процентов квадрата не заштриховано? Далее можно предложить учащимся задачу, для решения которой нужно определить, что взять за 100%. Для более эффективного усвоения задачи можно использовать рисунок. Задача 1.3. В России 150 миллионов жителей. 70% всех жителей – городское население. Из них 23% – дети до 16 лет. Сколько детей до 16 лет среди городского населения? Для решения задачи можно привести рисунок (см. рис. 5). Нужно обсудить с учащимися действия решения задачи. 1. Найти число городского населения из числа всех жителей России. 2. Из числа городских жителей найти число детей до 16 лет. Рисунок (см. рис. 5) поможет школьникам решить задачу. 15 24 23 0 7 0 150 , , ) , (    Ответ: 24,15 миллионов. После подробного обсуждения задачи можно дать подобную задачу для самостоятельного решения. 18
Также в рамках занятия можно включить задачи на сравнение. Предлагая данные задачи, можно попросить учащихся высказать свои версии ответа, а затем приступить к решению. Задача 1.4. Сравнить числа 61% от 83 и 83% от числа 61.(Ответ: результаты равны.) В завершении занятия учащимся можно предложить задачи на нахождение величины по известному количеству процентов. Задача 1.5. В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек в коробке? Для решения задачи можно использовать алгебраический метод. Пусть x лампочек в коробке. Тогда можно составить уравнение: 4 02 0 x   , 200 02 0 4 x    , : Ответ: 200 лампочек. Затем следует сделать вывод о том, как находится величина по известному количеству его процентов, и дать задачу на закрепление. Задача 1.6. В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе? (Ответ: 300 учащихся) Домашнее задание дается индивидуально. Второе занятие следует начать с проверки домашнего задания и только после этого приступать к решению новых задач. В начале занятия можно рассмотреть задачу об увеличении величины на несколько процентов и вспомнить метод ее решения. После рассмотрения основных задач на проценты можно вместе с учащимися вывести общие формулы решения задач.(см схема 4) Далее можно предложить решить задачу, используя выведенные формулы. Но прежде чем приступить к решению задачи, стоит спросить учащихся о том, каков, по их мнению, будет результат. Задача 2.1. 19
Цену товара увеличили на 30%, затем через некоторое время уменьшили на 30%. Сравнить первоначальную и новую цену товара, если он стоил 80 р. (Ответ: первоначальная цена больше новой.) Как правило, еще не решая задачи, ученики делают вывод, что результаты равны. Поэтому нужно обязательно включать задачи такого плана в курс повторения, чтобы показать «коварность» процентов. Затем можно рассмотреть задачи на растворы и сплавы. Для того, чтобы задача была более понятна, можно привести рисунок, иллюстрирующий условие. Рисунок лучше делать, обсуждая его с учащимися. Задача 2.2. Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% -ный раствор? (см рис. 6.) Составление таких схем поможет детям разобраться в условии и быстрее составить уравнение к задаче. 15 0 80 12 0 80 х , , ) (     Можно предложить учащимся составить другое уравнение, сравнивая массу воды, и сделать вывод о том, какое уравнение проще. Оставшиеся задачи школьники решают самостоятельно. На доске можно только составлять рисунок и записывать уравнение. Задача 2.3. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 50%? (см рис. 7.) Для решения этой задачи лучше составить систему уравнений.          50 у 3 0 х 1 0 200 у х , , Домашнее задание задается индивидуально.
II. 3. Исследование знаний по теме «Проценты»
Исследовательская работа проводилось в мае 2011г. в IX классе МБОУ СОШ с.Карамалы-Губеево. Перед его проведением была изучена методическая и 20
математическая литература, разработана методика проведения урока-повторения. Было проведено два занятия (консультация перед ГИА). Следует отметить, что в данном классе преподавание математики ведется по учебнику под ред. С.А. Теляковского, а V – VI классе – по учебникам математики авторов Н.Я.Виленкина и др. Поэтому в качестве основного источника задачного материала я взяла учебник по математике этих авторов. На первом занятии было повторение понятия процента и простейших задач. Надо сказать, что при этом возникли некоторые трудности. Во-первых, дети не могли самостоятельно сформулировать определение процента, пришлось приводить примеры употребления данного понятия (например, в России на каждые 100 человек приходиться 12, имеющих высшее образование, это значит, что в России 12% населения имеет высшее образование) и самой его формулировать. Во-вторых, учащимся было трудно при решении задач-рисунков (например, дан квадрат, сколько процентов его площади заштриховано), поэтому использовались наводящие вопросы: 1. Какая часть квадрата заштрихована? (Этот вопрос вызвал особые трудности) 2. Выразите заштрихованную часть десятичной дробью. (Перевод обыкновенных дробей в десятичные без калькулятора осуществлялся довольно долго) 3. Сколько процентов квадрата заштриховано? (Перевод десятичных дробей в проценты дети проводили быстро) Занятие построено таким образом, что сначала шло обсуждение решения задачи через наводящие вопросы, а затем подобную задачу дети решают самостоятельно. И, надо сказать, такая методика была довольно эффективна. Задачи для самостоятельного решения и домашнее задание по аналогии ученики сделали на 100%. На втором занятии были разобраны задачи и выведены общие формулы нахождения процентов. В ходе занятия можно было сделать вывод о том, что ребята владеют техникой обобщений на 63%, хотя после решения частных задач общие формулы были выведены. Дальнейшее время занятия было посвящено 21
задачам на концентрацию. Похожие задачи ребята изучают в химии и они, как правило, вызывают трудности. Для более эффективного усвоения вводилась схема условия. Такая схема помогает определить, что лучше взять за переменную, и составить уравнение к задаче. На этом занятии ученики могли пользоваться калькулятором. Но оказалось, что они не умеют рационально считать на калькуляторе. Поэтому нужно было объяснять рациональные приемы счета. Большой интерес у учеников вызвала задача 2.3(Цену товара увеличили на 30%, затем через некоторое время уменьшили на 30%. Сравнить первоначальную и новую цену товара, если он стоил 80 р.). Большинство ребят – 67% считали, что первоначальная цена товара и новая цена будут равны. Остальные 33% считали, что цена изменится, но не могли сказать, почему. После решения данной задачи, совместными усилиями был найден ответ на вопрос о том, почему же цена изменяется. Проверка домашнего задания показала, что материал, изученный на этих двух занятиях, был учениками усвоен на 50%. Таким образом, я сделала вывод, что задачи на проценты нужно рассматривать хотя бы в рамках курса повторения для учащихся, потому что практика ГИА показывает, что некоторые детей допускают ошибки при решении задач такого типа.
II.4. Выводы ко 2 главе
Понятие процента вводится уже в младших классах среднего звена. В силу их возрастных особенностей и невысокой математической грамотности учащиеся не могут ознакомиться со всем спектром задач на проценты. В VII – IX классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому я считаю целесообразным уделять процентам больше внимания, так как задачи данного типа есть и в ГИА 9 класса. 22

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Данное исследование проводилось с целью разработки методических рекомендаций по изучению темы «Проценты». Я считаю, что эта цель достигнута, так как мной были даны общие методические рекомендации к изучению темы, методические рекомендации к проведению урока для IX класса. Основные задачи, которые ставились перед началом исследования, были выполнены. В работе рассмотрены особенности учебника по математике автора Н.Я.Виленкина и др. Проведен анализ изложения темы «Проценты» в учебниках , рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации на 2010/2011 учебный год. По разработанным методическим рекомендациям было осуществлено исследование. Также была изучена история возникновения понятия процент и систематизированы все виды задач на проценты Гипотеза, выдвинутая в начале работы, подтвердилась. Действительно, понятие процента стоит вводить в V – VI классах, но различные типы задач на проценты следует рассматривать и в курсе алгебры VII – IX класса. Использование символической наглядности делает усвоение понятия процента и умение решать задачи на проценты более эффективным. Таким образом, можно сделать вывод, что теме «Проценты» следует уделять больше внимания, чем это сделано в современной школе. Можно использовать дополнительные материалы для курса повторения темы «Проценты». 23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.
Б а р а н о в О . О . З а д ач и н а п р о ц е н т ы к а к п р о б л е м а н о р м ы словоупотребления//Математика в школе. – 2003. – № 5. – с. 50 – 59.
1.
Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе//Математика в школе. – 2002. – №1 – с. 19 –24.
2.
Козлова Г.М. Из опыта преподавания по учебному комплекту «Математика 5»//Математика в школе. – 2002. – № 3. – с. 49 – 52.
3.
Кузнецова Л.В. и др. Методические материалы к новому учебнику для IX класса//Математика в школе. – 2000. – № 6. – с. 27–33.
4.
Кузнецова Л . В . и д р . М е т о д и ч е с к и е м а т е р и а л ы к н о в о м у учебнику//Математика в школе. – 1997. – № 3. – с. 34 – 39.
5.
Захарова А.Е. Учимся решать задачи на проценты//Математика для школьников. - 2006. - №2. - с.23 - 31.
6.
Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк./ Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. В.И. Жохов. – М.:Мнемозина, 2008.
7.
Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2003.
8.
Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред С.А.Теляковского. – М.:Просвещение,2003.
9.
Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред С.А.Теляковского. – М.:Просвещение,2001.
10.
Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред С.А.Теляковского. – М.:Просвещение,2010. 24

ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Слайд- презентация 2. Схема 1. 3. Схема 2. «Виды задач на проценты» 4. Схема 3. «Способы решения задач на проценты» 5. Рис. 1. 6. Рис.2. Виды задач на проценты Нахождение процента от числа Нахождение числа по его процентам Нахождение процентного отношения чисел 25 Способы решения уравнение таблица действие пропорция правило Как возник знак процента? pro cento → cento → cto → c/o → % а) б) в) г)
7. Рис. 3. 8. Рис. 4 9. Рис. 5. 26 б) А. 40% Б. 50% В. 70% д) А. 40% Б. 60% В. 80% А. 10% Б. 40% В. 60% в) 70% 23% Дети до 16 лет Городское население Жители России 100%
10.Схема 4. Общие формулы 11.Рис. 6. 12.Рис.7 . 27 100 Р А А от Р   % Общие формулы , % - Р это В 100% 100 Р В :  А у в е л и ч и т ь н а Р % ) ( 100 Р 1 А 100 Р А А       А у м е н ь ш и т ь н а Р % ) ( 100 Р 1 А 100 Р А А       80 г соль H 2 O 15% (80+x) г соль H 2 O 12% х г H 2 O никель 10% х т никель 30% у т никель 25% 200 т