Напоминание

Решение показательных и логарифмических неравенств методом рационализации.


Автор: Затеева Валентина Павловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ " СОШ № 15 с углубленным изучением отдельных предметов"
Населённый пункт: Саратовская область, г. Энгельс
Наименование материала: Занятие кружка.
Тема: Решение показательных и логарифмических неравенств методом рационализации.
Раздел: полное образование





Назад





Занятие кружка . 25.03.2016

Решение показательных и логарифмических

неравенств методом рационализации.

Цель занятия: рассмотреть показательные и

логарифмические неравенства методом

рационализации; показать эффективные приемы

решения неравенств.

Вступительное слово учителя.

Давайте посмотрим , как выпускники решают С3

(№17)

2011 г

2012г



2015 г

Задани

е

врем

я

Средний процент

выполнения

№ 15

Уметь решать

неравенства

15

минут

1 балл – 3,1 %

2 балла- 22,3 %

ЕГЭ-2014 (досрочный)



1.Решить неравенство ( ЕГЭ 2010г):
log | x + 2 | ( 4 + 7 x − 2 x 2 ) ≤ 2 ¿
Решение.
log | x + 2 | ( 4 + 7 x − 2 x 2 ) ≤ log | x + 2 | | x + 2 | 2 ¿
Неравенство равносильно системе
{ 4 + 7 x − 2 x 2 > 0 ; | x + 2 | ≠1 x + 2≠ 0 ( | x + 2 | − 1 ) ( 4 + 7 x − 2 x 2 − | x + 2 | 2 ) ≤0 { 2 x 2 − 7 x − 4 < 0 ; x ≠ − 3, x ≠ − 2, x ≠ − 1 ( | x + 2 | 2 − 1 2 ) ( 4 + 7 x − 2 x 2 − x 2 − 4 x − 4 ) ≤ 0 ;
;
x 1,2 = 7± √ 49 + 32 4 = 7 ±9 4
X=4 ; x=-0,5
{ − 0,5 < x < 4 ; x ≠ − 3, x ≠ − 2, x ≠ − 1, ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( 3 x 2 − 3 x ) ≥ 0 ; { − 0,5 < x < 4 ; x ≠ − 3, x ≠ − 2, x ≠ − 1, x ( x − 1 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) 2 ≥ 0 ;
Последнее неравенство равносильно неравенству
x ( x − 1 ) ≥ 0;
-0,5 0 1 4 Ответ: (-0,5; 0]U [1;4) 2. Решить неравенство ( ЕГЭ 2011г) 2 log x + 5 ( x 2 − 5 x ) log x + 5 x 2 ≥ 1 Решение: ОДЗ: { x 2 − 5 x > 0, x + 5 > 0, x + 5≠ 1 x 2 ≠ 1. { [ x > 5, x < 0 x >− 5 x ≠ − 4 ; x ≠ ± 1, х ∈ (− 5 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ;0 ) ∪ ( 5 ; + ∞ ) В левой части неравенство можно записать по- другому log x 2 ( x 2 − 5 x ) 2 ≥1 log x 2 ( x 2 − 5 x ) 2 ≥ log x 2 x 2 ( x 2 − 1 ) ( ( x 2 − 5 x ) 2 − x 2 ) ≥ 0 ; ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 − 5 x − x ) ( x 2 − 5 x + x ) ≥ 0 ; ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 − 6 x ) ( x 2 − 4 x ) ≥ 0; x 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 6 ) ( x − 4 ) ≥ 0 ;
x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 1 ; 4 ] ∪ [ 6 ; + ∞ ) С учетом ОДЗ получаем ответ: x ∈ ( − 5 ; − 4 ) ∪ ( − 4 ; − 1 ) ∪ [ 6 ; + ∞ ) 3.Решите неравенство log | 3x − 3 | ( 25 x − 9 x ) < log | 3x − 3 | ( 5 x + 3 x ) + log | 3 x − 3 | ( 5 x − 1 + 3 x − 1 ) Решение. log | 3x − 3 | ( 5 x − 3 x ) < log | 3 x − 3 | ( 5 x − 1 + 3 x − 1 ) { | 3 x − 3 | ≠ 0, 5 x − 3 x > 0 ; ( | 3 x − 3 | − 1 ) ( 5 x − 3 x − 5 x − 1 − 3 x − 1 ) < 0 ; { x ≠ 1; x > 0 ; ( 3 x − 3 − 1 ) ( 3 x − 3 + 1 ) ( 4 5 5 x − 4 3 3 x ) < 0 { x ≠ 1 ; x > 0 ; ( 3 x − 4 ) ( 3 x − 2 ) ( ( 5 3 ) x − 1 − ( 5 3 ) 0 ) < 0 Ответ: ( 0 ; 2 3 ) ∪ ( 1 ; 4 3 ) Решить неравенство ( ЕГЭ- 2014) log 5 − x ( x + 5 ) ∙ log x + 4 ( 4 − x ) ≤ 0 Решение. ( log 5 − x ( x + 5 ) − 0 ) ( log x + 4 ( 4 − x ) − 0 ) ≤0 ( log 5 − x ( x + 5 ) − log 5 − x 1 ) ( log x + 4 ( 4 − x ) − log x + 4 1 ) ≤0
Применяя метод рационализации на ОДЗ, получим ответ. Ответ: ( − 4 ; − 3 ) ∪ [ 3 ; 4 ) Выводы из занятия. Решая методом рационализации не нужно при решении логарифмического неравенства рассматривать два случая. Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных в основании и перешли к классическому методу интервалов. Экономим время на ЕГЭ.
Основные ошибки при

решении неравенств (С3) № 17
Ошибки в применении свойств логарифма. Плохое знание свойств логарифмической функции, показательной. Неумение применять замену переменной.
Неумение применять метод интервалов при решении неравенств повышенного и высокого уровней сложности. Неумение применять метод равносильных преобразований, при решении неравенств повышенного и высокого уровней сложности. Некорректное использование систем и совокупностей. Н е з н а н и е р а ц и о н а л ь н ы х методов решения неравенств повышенного и высокого уровня сложности. Литература к уроку. 1.МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по МАТЕМАТИКЕ. И.В.Ященко, А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий 2 . Аналитический отчет ЕГЭ-2011 3 . МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОЦЕНИВАНИЮ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ЕГЭ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ. 2014 г 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по МАТЕМАТИКЕ 5. LARIN.NET 6.Математика . Показательные и логарифмические уравнения, системы ,неравенства. Задание № 4 для 11 классов. Колесникова София Ильинична.


В раздел образования