Решение показательных и логарифмических неравенств методом рационализации.
Автор: Затеева Валентина Павловна Должность: учитель математики Учебное заведение: МБОУ " СОШ № 15 с углубленным изучением отдельных предметов" Населённый пункт: Саратовская область, г. Энгельс Наименование материала: Занятие кружка. Тема: Решение показательных и логарифмических неравенств методом рационализации. Раздел: полное образование
1.Решить неравенство ( ЕГЭ 2010г):
log
|
x
+
2
|
(
4
+
7 x
−
2 x
2
)
≤ 2
¿
Решение.
log
|
x
+
2
|
(
4
+
7 x
−
2 x
2
)
≤ log
|
x
+
2
|
|
x
+
2
|
2
¿
Неравенство равносильно системе
{
4
+
7 x
−
2 x
2
>
0 ;
|
x
+
2
|
≠1
x
+
2≠ 0
(
|
x
+
2
|
−
1
)
(
4
+
7 x
−
2 x
2
−
|
x
+
2
|
2
)
≤0
{
2 x
2
−
7 x
−
4
<
0 ;
x ≠
−
3, x ≠
−
2, x ≠
−
1
(
|
x
+
2
|
2
−
1
2
)
(
4
+
7 x
−
2 x
2
−
x
2
−
4 x
−
4
)
≤ 0 ;
;
x
1,2
=
7±
√
49
+
32
4
=
7 ±9
4
X=4 ; x=-0,5
{
−
0,5
<
x
<
4 ;
x ≠
−
3, x ≠
−
2, x ≠
−
1,
(
x
+
1
) (
x
+
3
)
(
3 x
2
−
3 x
)
≥ 0 ;
{
−
0,5
<
x
<
4 ;
x ≠
−
3, x ≠
−
2, x ≠
−
1,
x
(
x
−
1
) (
x
+
3
) (
x
+
1
)
2
≥ 0 ;
Последнее неравенство равносильно неравенству
x
(
x
−
1
)
≥ 0;
-0,5
0 1
4
Ответ: (-0,5; 0]U [1;4)
2. Решить неравенство ( ЕГЭ 2011г)
2 log
x
+
5
(
x
2
−
5 x
)
log
x
+
5
x
2
≥ 1
Решение:
ОДЗ:
{
x
2
−
5 x
>
0,
x
+
5
>
0, x
+
5≠ 1
x
2
≠ 1.
{
[
x
>
5,
x
<
0
x
>−
5
x ≠
−
4 ;
x ≠ ± 1,
х
∈
(−
5 ;
−
4
)
∪
(
−
4 ;
−
1
)
∪
(
−
1 ;0
)
∪
(
5 ;
+
∞
)
В левой части неравенство можно записать по-
другому
log
x
2
(
x
2
−
5 x
)
2
≥1
log
x
2
(
x
2
−
5 x
)
2
≥ log
x
2
x
2
(
x
2
−
1
)
(
(
x
2
−
5 x
)
2
−
x
2
)
≥ 0 ;
(
x
−
1
) (
x
+
1
)
(
x
2
−
5 x
−
x
) (
x
2
−
5 x
+
x
)
≥ 0 ;
(
x
−
1
) (
x
+
1
)
(
x
2
−
6 x
) (
x
2
−
4 x
)
≥ 0;
x
2
(
x
−
1
) (
x
+
1
) (
x
−
6
) (
x
−
4
)
≥ 0 ;
x
∈
(
−
∞ ;
−
1
)
∪
(
1 ; 4
]
∪
[
6 ;
+
∞
)
С учетом ОДЗ получаем ответ:
x
∈
(
−
5 ;
−
4
)
∪
(
−
4 ;
−
1
)
∪
[
6 ;
+
∞
)
3.Решите неравенство
log
|
3x
−
3
|
(
25
x
−
9
x
)
<
log
|
3x
−
3
|
(
5
x
+
3
x
)
+
log
|
3 x
−
3
|
(
5
x
−
1
+
3
x
−
1
)
Решение.
log
|
3x
−
3
|
(
5
x
−
3
x
)
<
log
|
3 x
−
3
|
(
5
x
−
1
+
3
x
−
1
)
{
|
3 x
−
3
|
≠ 0,
5
x
−
3
x
>
0 ;
(
|
3 x
−
3
|
−
1
)
(
5
x
−
3
x
−
5
x
−
1
−
3
x
−
1
)
<
0 ;
{
x ≠ 1;
x
>
0 ;
(
3 x
−
3
−
1
) (
3 x
−
3
+
1
)
(
4
5
5
x
−
4
3
3
x
)
<
0
{
x ≠ 1 ;
x
>
0 ;
(
3 x
−
4
) (
3 x
−
2
)
(
(
5
3
)
x
−
1
−
(
5
3
)
0
)
<
0
Ответ:
(
0 ;
2
3
)
∪
(
1 ;
4
3
)
Решить неравенство ( ЕГЭ- 2014)
log
5
−
x
(
x
+
5
)
∙ log
x
+
4
(
4
−
x
)
≤ 0
Решение.
(
log
5
−
x
(
x
+
5
)
−
0
) (
log
x
+
4
(
4
−
x
)
−
0
)
≤0
(
log
5
−
x
(
x
+
5
)
−
log
5
−
x
1
) (
log
x
+
4
(
4
−
x
)
−
log
x
+
4
1
)
≤0
Применяя метод рационализации на ОДЗ, получим
ответ.
Ответ:
(
−
4 ;
−
3
)
∪
[
3 ; 4
)
Выводы из занятия.
Решая методом рационализации не нужно при
решении логарифмического неравенства
рассматривать два случая. Преимущество и красота
приведенных условий равносильности состоит в том,
что мы за один шаг освободились от логарифмов и
переменных в основании и перешли к классическому
методу интервалов. Экономим время на ЕГЭ.
Основные ошибки при
решении неравенств (С3) № 17
Ошибки в применении свойств
логарифма.
Плохое знание свойств логарифмической
функции, показательной.
Неумение применять замену переменной.
Неумение применять метод интервалов
при решении неравенств повышенного и
высокого уровней сложности.
Неумение применять метод
равносильных преобразований, при
решении неравенств повышенного и
высокого уровней сложности.
Некорректное
использование
систем и совокупностей.
Н е з н а н и е
р а ц и о н а л ь н ы х
методов решения неравенств повышенного и
высокого уровня сложности.
Литература к уроку.
1.МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные
на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по
МАТЕМАТИКЕ. И.В.Ященко, А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий
2
.
Аналитический отчет ЕГЭ-2011
3
.
МАТЕМАТИКА
ЧАСТЬ
1
МЕТОДИЧЕСКИЕ
РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО
ОЦЕНИВАНИЮ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ЕГЭ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ.
2014 г
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для учителей, подготовленные на основе
анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по МАТЕМАТИКЕ
5. LARIN.NET
6.Математика
.
Показательные
и
логарифмические
уравнения,
системы ,неравенства. Задание № 4 для 11 классов. Колесникова София
Ильинична.