Дроздова

Алла

Владимировна,
учитель математики высшей квалификационной категории МАОУ «Гимназия №87», город Саратов
Решение планиметрических задач

(подготовка учащихся 11 классов к ЕГЭ по математике)
В последние годы в экзаменационную работу была включена п л а н и м е т р и ч е с к а я з а д а ч а С 4 . Анализ результатов единого государственного экзамена ( ЕГЭ ) по математике на территории Саратовской области в 2012 год у пока за л, ч т о большинство экзаменующихся не смогли продвинуться дальше исходного чертежа и записи основных формул. В 2013 году в полном объеме задание С4 выполнили 304(2,25%) выпускника, частично(1 балл из 3) – 153(1,13%) выпускника и (2 балла из 3) 157(1,16%). Большинство не приступало к выполнению задания, что опять-таки свидетельствует о низком уровне знания геометрии. Типичными ошибками были неверное применение признаков подобия треугольников, незнание свойств углов в окружности. В 2014 году без изменения сложности расширена тематика задания С4 – в этом задании может присутствовать пункт на доказательство геометрического факта. В 2015 и 2016 годах задание С4 состоит из двух пунктов: а) на доказательство; б) на нахождение величины. Таким образом, перед учителем встает задача: спланировать подготовку учащихся таким образом, чтобы они получили максимальный объем информации, закрепили навыки на достаточном количестве задач, порой не вошедших в школьный учебник. Рассмотрим некоторые свойства треугольника, которые если и приводятся в учебниках, то в основном только как задачи на доказательство и покажем применение некоторых из них при решении задач.  Если отрезок треугольника, соединяющий вершину треугольника с
противоположной стороной делит её в некотором отношении, то площади прилежащих к ним треугольников делятся в этом же отношении (отношение площадей треугольников с равными высотами).
Пример 1.
В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD:DC=1:2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF.
Решение.
∆AEF ∆ADK, с л е д о в а т е л ь н о . DH – о б щ а я в ы с о т а треугольников ADK и ADB, поэтому AP – о б щ а я в ы с о т а треугольников ADВ и 2
ABС , п о э т о м у , то есть , то есть , то есть Получаем, .
О т в е т:
 Если в треугольнике проведён отрезок, соединяющий какие либо 2 точки на сторонах этого треугольника, то отношение площадей малого треугольника к площади большего треугольника равна отношению произведения их смежных сторон выходящих из одной вершины (отношение площадей треугольников с равным углом).
Пример 2.
Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что и .
Решение.
Введем следующие обозначения: AB=BE=c, BC=a, BD=h. 3

1

случай
( т о ч к а E лежит между точками A и С). 1. Треугольник АВЕ ― равнобедренный, п о э т о м у а з н а ч и т, . 2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно, , откуда . Поскольку , получаем: . 4
3.Окончательно находим:
2 случай
(точка A лежит между точками E и С). Аналогично случаю 1 находим .
Ответ:
25 или 39.  Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АА 1 и СС 1 , тогда треугольник А 1 ВС 1 подобен данному с коэффициентом подобия равным
|
cos B
|
.
Пример

3.
Точ к и D и E – основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведенных из вершин A и C соответственно. Известно, что = k, BC = a, AB = b. Найдите сторону АС.
Решение.

1 случай:
высоты опускаются на стороны ∆АВС – остроугольный.
2 случай:
высоты опускаются на продолжения сторон, т.е. угол B – тупой. Треугольники EВD и АВС подобны по двум углам, тогда = k и k =
|
cos B
|,
т.е. cos B = k. П о т е о р е м е ко с и н у с о в д л я треугольника АВС имеем: АС 2 = АВ 2 + ВС 2 – 2ВС ∙ АВ ∙ cos B. Получаем АС 2 = b 2 +а 2 +2аbk (1 случай) или АС 2 = b 2 +а 2 – 2аbk (2 случай), то есть АС = или АС = . 5

Ответ:
или .  Если r – радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, а p – его полупериметр, то S ABC = r∙p.  Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.  Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.  Если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам, то его площадь можно вычислить по формулам: S =  Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно .  Пусть окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.  Формулы для вычисления длины биссектрисы: а) l a = , где l a – длина биссектрисы, проведенной из вершины A; б) l a = , где – отрезки стороны c, на которые рассекает ее биссектриса.  Медианы треугольника вычисляется через длины его сторон по формуле: = . 6
 Длина стороны треугольника по известным трем медианам вычисляется по формуле: a = .
Список использованной литературы
1 Гордин Р.К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4 / Под ред. А.Л. Семенова, И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. – 148 с. 2 ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания / Под ред. А.Л.Семенова, И.В. Ященко. – Москва: Экзамен, 2010. 3 Оценка качества образования в Саратовской области (по результатам сдачи ЕГЭ в2013 году): Сборник аналитических материалов. (1 этап) Часть 3 / Отв. редактор А.А. Иванов. – Саратов: ГБУ СО «РЦОКО», 2013. – 71 с. 4 Корянова А.Г., Прокофьева А.А. Математика ЕГЭ 2012. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (типовые задания С4), 2012. – 65 с. 7