Тема урока: «Решение задач на физический смысл производной».

Цели урока:

Образовательные:
Создать условия для осмысленного усвоения обучающимися физического смысла производной. Содействовать формированию умений и навыков практического использования производной для решения разнообразных физических задач. Закрепить навыки вычисления производных.
Развивающие:
Способствовать развитию математического кругозора, познавательного интереса у обучающихся, через раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы. Способствовать развитию логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной. Способствовать развитию монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий (аргументированная математическая речь),
Воспитательные:
Воспитание устойчивого интереса к предмету. Воспитание навыков коммуникативности в работе (умение слушать; признать ошибку; оказать помощь товарищу). Воспитание таких качеств личности, как инициатива, организованность, дисциплина, самостоятельность.
Формы работы:
фронтальная, индивидуальная.
Оборудование:
Компьютер, презентация, карточки для самостоятельной работы.
Структура урока:
1.Организационный момент, постановка цели урока. 2.Устный опрос, повторение. 3.Самостоятельная работа. 4.Решение задач. 5.Итог урока. 6.Домашнее задание. 7.Рефлекcия.
Ход урока

I. Организационный момент, постановка цели урока (2 мин.)

II. Устный опрос, повторение (5 мин)

Преподаватель:
На предыдущих уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные линейной, степенной, тригонометрических функций. Узнали, в чем заключается геометрический смысл производной. Сегодня на уроке мы узнаем, где в физике, химии применяется данное понятие.
Поэтому цель нашего урока -закрепить навыки вычисления производных; -рассмотреть использование механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим смыслом; Для этого вспомним некоторые определения, формулы, правила.
Вопросы:
1. В чем заключается геометрический смысл производной? 2. Чему равна производная постоянной. 3. Формула для вычисления производной степенной функции. 4.Чему равна производная суммы двух или более функций? 5. Чему равна производная синуса? 6.Чему равна производная косинуса? 7. В чем заключается физический смысл производной?
Устный счет: (3мин)
Найдите производную следующих функций: 1) (х 4 ) ´ = 4х 3 2) (2х 3 ) ´ = 6х 2 3) (8) ´ = 0 4) (-3х 5 ) ´ = -15х 4 5) (7х) ´ =7 6) (5х 2 + 4) ´ = 10х 7) (2х 4 - х) ´ = 8х -1 8) (1/х ) ´ = - 1/х² 9) (2sin x)´ = 2cos x 10) (3cos x)´ = - 3sin x
III. Самостоятельная работа (5 мин)

Вариант -1
1.(х 6 +х)´ =6х 5 +1 2.(18х – 2х 3 )´ =18 – 6х 2 3.( -6х 5 )´ = -30х 4 4. (8 sin x - 5cos x)´=8cos x + 5sin x 5. (3х 3 – 4х 2 +7х +2)´ = 9х 2 -8х +7
Вариант -2
1. (-11х 2 )´ = -22 х 2.( х 5 -3х 3 )´ =5х 4 – 9х 2 3.( х 4 + 5х)´ =4х 3 +5 4. (2сos x + 4sin x)´ = - 2sin x + 4сos x 5.(2х 3 -3х 2 + 6х – 4)´ =6х 2 -6х +6

IV.Решение задач (25 мин)

Преподаватель:
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 17 веке в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики, но в первую очередь следующих задач: – определение скорости прямолинейного движения, – построения касательной к кривой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциальное исчисление. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики, астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки 18 века. Мы живем в 21 веке и сейчас используем уже известные нам обозначения. И сегодня, на уроке, мы с вами рассмотрим применение производных при решении различных физических задач, поэтому нам будет нужна следующая таблица. таблица Обозначение физической величины Физическая формула v= S´( t) v- скорость S-перемещение t -время v=St a= v ´( t) a-ускорение v-скорость a= v t ω= φ´( t) ω-угловая скорость φ-движение по окружности ω= φ t F=A´(s) F-сила А-работа F=AS N =A´(t) N-мощность А-работа N =At ρ= m´(l) ρ-линейная плотность m-масса тонкого стержня l-длина ρ= m l I= q´( t) I-сила тока q-электрический заряд I= q t ρ= m´( V) ρ-объёмная плотность m- масса V-объём ρ= m V V = ρ´(t) V-средняя скорость химической реакции V = ∆ρ/ ∆t

Преподаватель:
Мы видим, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых физикой, техническими науками, химией, аналогична связи между путем и скоростью. Можно привести множество задач, для решения которых также необходимо находить скорость изменения некоторой функции, например: нахождение концентрации раствора в определенный момент, угловой скорости вращения тела, линейной плотности в точке и т.д. Некоторые из таких задач мы сейчас решим.
Решите задачи:
(решение задачи разбирается у доски) 1. Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 3t + t 2 (м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения. Решение. v ( t) = S′(t) v ( t) = (3t + t 2 )′ = 3 +2 t v ( t) = v ( 3) = 3 + 2·3 = 9(м/с) Ответ: 9 м/с 2. Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента t = 0, задается формулой q = 3t 2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t =3с. Решение. q = 3t 2 + t + 2 I= q´( t) I= (3t 2 + t + 2)´ = 6 t + 1 I (3) = 6·3 +1 = 19 (А) Ответ: 19 А 3. Тело, масса которого 5 кг, движется прямолинейно по закону S(t) = 1-t + t 2 , где S- измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения. Решение. S(t) = 1-t + t 2 m =5 кг t = 10с Е = mv ² 2 v= S´( t) v= (1-t + t 2 )´ = -1 +2 t =2 t - 1 v( t) = v( 10) = 2·10 -1 = 19(м/с) Е = mv ² 2 = 5×361 2 = 902,5 (Дж)
Ответ: 902,5 (Дж) (задачи № 4 и №5 обучающиеся решают самостоятельно, с последующим коментарием решения) 4.Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью: р(t) = 0,5 t 2 + 3t –3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение. V (t) = ρ´(t) V (t) = (0,5 t 2 + 3t –3)′ = t + 3 V (t) = V (3) = 3 +3 = 6 Ответ: 6 5. Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 1+4t - t 2 (м), где t- время движения в секундах. Через какое время после начала движения тело остановится? Решение. v ( t) = S′(t) v ( t) = 0 v ( t) = (1+4t - t 2 )′ = 4 - 2 t 4 - 2 t = 0 - 2 t = - 4 t= 2 Ответ: через 2 с тело остановится.
V. Итог урока (2 мин.)
В чем состоит механический смысл производной? Тело движется по прямой согласно закону S (t).Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
VI. Задание на дом (1 мин.)
Сборник заданий стр. 34 В-38, № 5; стр. 69 В-84, № 5
VII. Оценки, рефлексия (2 мин.)
Что нового сегодня на уроке вы узнали? На какой вопрос вы не получили ответ?
Областное государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Белгородский машиностроительный техникум»
Решение задач на физический смысл производной.
(разработка открытого урока по математике) Подготовила преподаватель математики Матюш Ольга Юрьевна 2016 г.