Урок алгебры в 11 классе по теме
«Применение показательной и логарифмической функций в жизни, науке и

технике»
Цель урока:  формирование предметной компетентности (навыков работы с большими объемами информации, умений видеть проблему и наметить пути ее решения, применять базовые знания для решения конкретной проблемы);  формирование коммуникативной компетентности (умений кратко и понятно излагать свои мысли, физически грамотно говорить). • формирование исследовательских навыков в поиске, анализе явлений природы, человеческой деятельности. Ход урока: 1. Оргмомент (приветствие, проверка готовности к уроку) 2. Актуализация знаний 1) вычислите значение выражений: 2 3 , 4 -2 , 0,5 6 , ( 2 ) 3 4 , ( 1 2 ) − 5 , ( √ 5 ) 4 , ( √ 5 6 ) 4 , log 3 9, log 4 1 16 , log 5 √ 5 2) Назовите свойства показательной функции, свойства логарифмической функций: 3. Выступление творческих групп:
Учитель:
Математика неразрывно связана с жизнью на земле и с процессами, протекающими в окружающем нас мире. В этом вы убедились, готовясь к сегодняшнему уроку.Перейдем к обсуждению вопросов, которые вы должны были осветить, работая в творческих группах.
«Банкиры»
- Проблема, которая нас заинтересовала– открытие банковского счета, другими словами, как «положить деньги на книжку.» Мы знаем что, если в банк внесена сумма S º руб. и банк выплачивает p% в год, то через n лет на счете вкладчика окажется сумма: S
ⁿ
=S
º
(1+p/100)ⁿ - формула сложных процентов. Конечно, надо понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассматривается только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Очевиден рост величины вклада при возрастании срока его хранения. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно
увеличиваться на 10%: 10% от этой суммы составляют 0,1 ¿ 1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет 1500 + 150 = 1650 р.10% от новой суммы составляют 0,1 ¿ 1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет 1650 + 165 = 1815 р. 10% от новой суммы составляют 0,1 ¿ 1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет 1815 + 181,5 = 1996,5 р. - Предлагаем вам решить следующую задачу
Задача:
Пусть вкладчик положил в банк 10.000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?
Решение:
В нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле S = 10 . 000 ( 1 + 12 100 ) n . Нам необходимо найти n, при котором 20 . 000 = 10 . 000 ( 1 + 12 100 ) n , т. е. решить уравнение 2 = ( 1 + 12 100 ) n .Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором. n = log 1, 12 2 = lg 2 lg ( 1, 12 ) ¿ 0,3010 . . . 0, 0492. . . = 6, 11 . Таким образом, удвоение вклада произойдёт через 6 лет (с небольшим).
«Географы»
- Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.
Задача.
Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза?
Решение.
Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: A = a ( 1 + p 100 ) x . Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: 1,5 = ( 1 + 3 100 ) x или
1, 03 x = 1,5 . Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,03 = lg1,5 , откуда x = lg 1,5 lg 1,03 . Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим x = 0,1761 0, 0128 = 1761 128 ≈ 14 . Примерно через 14 лет. Задача для самостоятельного решения Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост населения составляет 3,5%
Решение.
Численность населения изменяется по формуле: B = B 0 ⋅ ( 1 + p 100 ) x . В нашей задаче B = 300 тыс. человек, p = 3,5 %, x = 10 лет, B 0 - численность населения 10 лет тому назад. Тогда 300 = B 0 ⋅ ( 1 + 3,5 100 ) 10 ; 300 = B 0 ⋅ 1,035 10 ; B 0 = 300 1, 035 10 ≈ 212 ,7 тыс. чел. Учитель: Следующие примеры, которые мы рассмотрим, имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам. Практическое применение логарифмов в этих науках связано с их возможностью описывать процессы, при которых изменение одной величины
в
некоторое количество раз ведёт к изменению зависимой величины
на
некоторое количество раз. Или наоборот, одна величина меняется
на,
а другая изменяется
в
. Таким законам подчиняются, например, процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. Все эти процессы получили название процессов органического роста, поскольку математическая модель, их описывающая, имеет одну и ту же структуру.
«Биологи»

Задача №1.
В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение.
Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц. Для того чтобы это сделать, сначала напомним, что процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида y = c 0 ⋅¿ ¿ a x . В обозначениях предыдущей задачи эти данные записываются следующим образом: q = 8, t = 2, p = 100 8 , B = 500 . Значит, требуемое время соответствует значению выражения 2 ⋅ ( lg 500 − lg 8 ) lg 100 8 ≈ 2 ⋅ 1,7959 . .. 1, 0970 . . . = 3,27 , т.е. примерно через 3 ч 15 мин . Задача для самостоятельного решения: Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией: m = m 0 1,2 t , где m 0 − первоначальная масса дрожжей, t – время дрожжевания в часах, m – масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислите массу m, если m 0 = 10 кг и t = 9 ч.
Решение.
Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания: m = 10 ⋅ 1,2 9 ≈ 51 ,6 кг. Ответ: масса полученных дрожжей: m ≈ 51 ,6 кг. Учитель: Разбирая, нам очень важно понимать его условность. Ведь действительно, мы учитываем только рост численности бактерий, совершенно не интересуясь такими факторами, как естественная смерть бактерий, временная ограниченность питательного компонента (когда его со временем становится меньше), или, скажем, такой экзотический фактор, как наличие в размножающейся колонии бактерий- паразитов и т.п. Учёт всех этих факторов существенно усложнит построение математической модели ситуации и потребует привлечения иных средств математики для её описания. Сейчас же заострять на этом внимание не будем. Продолжим выступление. Слово предоставляется группе физиков.

«Физики»
- Показательная и логарифмическая функции в физике применяются для описания многих процессов, например для расчета массы радиоактивных веществ. Рассмотрим задачу: радиоактивные вещества имеют свой период полураспада. Для урана-238 Т = 4,56 млрд. лет; для радия-226 Т = 1590 лет; для цезия-137 Т = 31 год; для йода-131 Т = 8 суток; для радона-222 Т = 3,81 суток. Пусть Т – период полураспада радиоактивного вещества, а t – время, прошедшее с начала наблюдения. Отношение t T – мера протекшего времени при условии, что за единицу времени берётся период полураспада. Тогда m = m 0 ⋅ ( 1 2 ) t T , где – масса вещества в начальный момент t = 0, а m – масса вещества по прошествии времени t. Если взять t=T , то получим m = 1 2 ⋅ m 0 , т.е. остающаяся в результате распада масса составляет половину исходной массы. Так и должно быть по определению самого понятия периода полураспада.
Задача №1.
Чему равна масса йода-131 к концу четвёртых суток с начала наблюдения, если в начальный момент его масса составляла 1г?
Решение.
m 0 = 1г; Т = 8 сут.; t = 4 сут.; m - ? m = m 0 ⋅ ( 1 2 ) t T ; m = 1 ⋅ ( 1 2 ) 4 8 = ( 1 2 ) 1 2 ≈ 0,7 г. Ответ: m ¿ 0,7 г. Используя эту же формулу, можно решить следующую задачу. Задача для самостоятельного решения
.
Первый международный эталон радия был изготовлен Марией Кюри в августе 1911 г. и содержал 16,74 мг чистого радия. Какое количество радия содержалось в этом эталоне в 1991 г., если оно вычисляется по формуле M = m 0 ( 1 2 ) t T , где m 0 = 16,74 мг, Т = 1600 лет и t – время, прошедшее после 1911 г.?
Решение.
Найдём количество радия в 1991 году: M = 16 , 74 ⋅ ( 1 2 ) 80 1600 ≈ 16 , 17 мг Ответ: 16,17 мг. Учитель: Когда
радиоактивное вещество распадается
, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот 0 m
промежуток времени t 0, как уже отмечалось, называется периодом полураспада. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например, распадается по закону:
M = M

0

e

-kt
.Используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли (радий распадается примерно за время, равное возрасту Земли).