Решения итоговой контрольной работы по математике в 11 классе

Часть1.

1.Найдите производную функции, если:

а)



(х) =3х

2

+1; б )



ˊ(х) =

cos х

; в)



(х) = х

3



(х+1).

Решения: а)



(х) =3х

2

+1;



ˊ(х) = 6x; б )



(х) =

cos х

;



ˊ(х) = - sinx ; в)



(х) = х

3



(х+1).



ˊ(х) = (х

3

)ˊ



(х+1)

`

+

х

3



(х+1)ˊ =3х

2

(х+1)+

`

х

3

∙ 1

= 3х

3

+3х

2

+ х

3

=4х

3

+3х

2

.

2. Найдите производную функции



(х) =sinx в точке х

0

=

π

6

.

Решение.



ˊ(х) =(sinx)ˊ =

cos х

; cosх = cos

π

6

=

√

3

2

.

Ответ:

√

3

2

3. На рисунке изображён график функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e задают на

оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу ха-

рактеристику функции или её производной.

ИНТЕРВА-

ЛЫ ВРЕМЕ-

НИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

А) ( a; b)

Б) (b; c )

В) (c; d )

Г) ( d ; e)

1) Значения функции положительны в каждой точке интерва-

ла.

2) Значения производной функции положительны в каждой

точке интервала.

3) Значения функции отрицательны в каждой точке интервала.

4) Значения производной функции отрицательны в каждой

точке интервала.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

Г

1

4

3

2

Ответ:1432

4.Найдите максимум и минимум функции у = f(x) на указанном промежутке, если

у = 2х

3

+ 3х

2

- 1,

[

−

1 ; 2

]

.

Решение: 1) уˊ =(2х

3

+ 3х

2

– 1)ˊ = 6х

2

+6х;

2) 6х

2

+6х=0, 6х (х+1)=0, х

1

=0 и х

2

=-1

Точки , х

1

=0 и х

2

=-1 есть критические точки функции, так как обе принадлежат

интервалу (-1;2);

3) Вычислим значения функции в точках -1,0,2: у(-1) = 0, у(0) = -1, у(2) = 27;

4) Найдем наименьшее и наибольшее из чисел:

min

[

−

1 ;2

]

у

=−

1; max

[

−

1 ;2

]

у

=

27 .

Ответ: Функция достигает максимума (у=27) в точке х= 2, минимума (у=-1) в точке х=0.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой

х

0

,если f(x) = х

3

+ 3х

2

-2х + 2,

х

0

= 1.

Решение. 1) fˊ(x) = (х

3

+ 3х

2

-2х + 2)ʹ = 3х

2

+6х-2;

2) у

0

= f(1) = 4 3) k = fˊ(1) = 7 4) у- у

0

= k(х-х

0

) , у – 4 = 7(х-1), у - 4 =7х-7, у = 7х-3.

Ответ: у = 7х-3.

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции

f(x) = -х

2

+5х.

Решение. Построим криволинейную трапецию, ограниченную линиями у= -х

2

+5х и осью

абсцисс ,вычислим ее площадь по формуле Ньютона – Лейбница

∫

а

в

f

(

x

)

dx

=

F

(

b

)

−

F

(

a

)

.

Найдем абсциссы точек пересечения графика функции у= -х

2

+5х с осью ОХ, решив

уравнение -х

2

+5х = 0. Его корни х

1

=0, х

2

= 5. Вычислим площадь криволинейной

трапеции:

∫

0

5

¿ ¿

)

dx

=

−

х

3

3

+

5 х

2

2

=

−

2 х

3

+

15 х

2

6

|

−

2.5

3

+

15 ∙ 5

2

6

−

−

2 ∙ 0

3

+

15 ∙0

2

6

=

−

250

+

375

6

=

125

6

=

20

5

6.

Ответ :

20

5

6.

7. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 11 и 5.

Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

Решение.

Найдём площадь основания:

Найдём объём призмы:

О т в е т : 110.

8.

Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная

основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Решение.

Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия k. Так как высоты конусов

относятся как 1:2, то k одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен 32:2

3

=4.

О т в е т : 4.

2 часть

9.

Найдите наименьшее значение функции

на отрезке

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Уравнение

не имеет

решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция

является возрастающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

О т в е т : −16,5.

10.Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной

пирамиды SABC равен 33.

Решение.

Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их

оснований. Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна

Площадь

равнобедренного

треугольника ABC с

боковой

стороной a и

углах

при

основании

равна

Получаем,

что

площадь

шестиугольника

больше

площади

треугольника ABC в

раз и равна

О т в е т : 198.