Теорема о пропорциональных отрезках в произвольных треугольниках

Манина Светлана Вячеславовна, Дроздова Алла Владимировна, учителя

математики высшей категории МАОУ «Гимназия №87»

Задачи,

связанные

с

пропорциональными

отрезками, часто встречаются на экзаменах. Чаще всего

пропорциональные

отрезки

рассматриваются

в

прямоугольных

треугольниках,

в

подобных

треугольниках или в связи с применением теоремы

Фалеса.

Однако

нередко

встречаются

задачи

следующего содержания:

в треугольнике (см. рисунок) из вершин к сторонам

соответственно

проведены

отрезки,

делящие

эти

стороны в заданном отношении. Определить, в каком

отношении

делятся

эти

отрезки

точкой

их

пересечения.

То есть, известно, в каком отношении отрезки делят противоположные

вершинам стороны треугольника. Требуется определить, в каком отношении они

делятся между собой. Эти отношения не зависят ни от вида треугольника, ни от

его сторон, ни от его углов, а определяются лишь отношениями, в которых

делятся соответствующие стороны треугольника точками.

В данной статье рассматривается полезная теорема, знание которой позволит

решать рациональным способом задачи, встречающиеся на ОГЭ и ЕГЭ.

Теорема

о

пропорциональных

отрезках в произвольном треугольнике:

если в произвольном треугольнике BAC взять

точки К

и М

на

сторонах

AC

и ВС

соответственно

таким

образом,

чтобы

AK:КС=m:n,

BM:MC=p:q,

то

AO

OM

=

AK

KC

(

CM

MB

+

1

)

, где О – точка пересечения

отрезков AM и BK.

Практическое применение теоремы о пропорциональных отрезках в

произвольном треугольнике

Задача 1

На медиане ВD треугольника АВС отмечена

точка М так, что ВМ:MD=m:n. Прямая АМ

пересекает сторону ВС в точке К. Найдите

отношение ВК:КС.

Решение: по теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике

BM

MD

=

BK

KC

(

CD

AD

+

1

)

.

Так как СD=DA, BM:MD=m:n, то получаем:

m

n

=

2 BK

KC

,

BK

KC

=

m

2n

.

Ответ:

BK

KC

=

m

2n

.

Задача 2

Прямая,

проходящая

через

вершину

А

треугольника АВС и делящая медиану ВМ в

отношении

1:2,

считая

от

вершины,

пересекает сторону ВС в точке К. Найдите

отношение площадей треугольников АВК и

АВС.

Решение:

1) Проведем высоту АН в треугольнике АВК. S

АВК

=

1

2

АН

¿

ВК, S

АВС

=

1

2

АН

¿

ВС.

АН является высотой не только для треугольника АВК, но и для треугольника

АВС. Значит, у АВК и АВС есть общая высота АН. Следовательно,

S

Δ ABK

S

Δ ABC

=

BK

BC

2) По теореме о пропорциональных отрезках в произвольном треугольнике

BO

OM

=

BK

KC

(

1

+

CM

AM

)

. СМ=АМ, ВО:ОМ=1:2, значит

1

2

=

2BK

KC

, и поэтому КС=4ВК,

следовательно, ВС=5ВК, значит

BK

BC

=

1

5

. Таким образом,

S

ABK

S

ABC

=

1

5

.

Ответ:

S

ABK

S

ABC

=

1

5

.

Задача 3

В треугольнике АВС АВ=10, ВС=12, АС=8.

На отрезке АВ взята точка К так, что

АК:КВ=2:3, а на стороне ВС – точка М так

что, ВМ:МС=2:1. На отрезке КМ взята точка

О так, что ОК:ОМ = 4:5. Площадь какого из

треугольников АВО, ВСО или АСО является

наименьшей?

Решение:

Пусть SAKO=S. У треугольников АКО и КВО одинаковая высота, следовательно,

S

AKO

S

KBO

=

AK

KB

=

2

3

,

тогда

S

BKO

=

3

2

S

. Аналогично,

S

BKO

S

BOM

=

KO

OM

=

4

5

, тогда

S

BOM

=

5

4

⋅

3

2

s

=

15

8

s

.

S

DOM

S

OMC

=

DM

MC

=

2

1

,

тогда

S

OMC

=

1

2

⋅

15

8

s

=

15

16

s

.

Таким образом,

S

AOB

=

3

2

x

+

S

=

5

2

s

=

40

16

S

.

S

BOC

=

15

8

s

+

15

16

s

=

45

16

s

,

S

KBM

=

3

2

s

+

15

8

s

=

27

16

s

, S

КВМ

¿

3

5

∙

2

3

S

АВС

¿

2

5

S

АВС

Значит, S

ABC

¿

5

2

∙

27

8

S

=

135

16

S

, S

AOC

=S

ABC

−¿

S

AOB

–

S

BOC

¿

135

16

S

−

40

16

S

−

45

16

S

=

50

16

S

.

Ответ: минимальное значение имеет SABO.

Задача 4

Прямая, перпендикулярная стороне

𝐵𝐶

ромба

𝐴𝐵𝐶𝐷

, пересекает его

диагональ

𝐴𝐶

в

точке

𝑀

,

диагональ

𝐵𝐷

в точке

𝑁

, при чем

𝐴𝑀

:

𝑀𝐶

= 1:2,

𝐵𝑁

:

𝐵𝐷

= 1:3.

Докажите, что сторона

𝐵𝐶

делится

прямой в отношении 1:4, считая от

точки

𝐵

.

Решение:

1) Обозначим ВМ=х, ND=3x; АМ=у, МС=2у.

2) ND+BN=4x, следовательно NO=

4 х

2

−

х

=

х

.

3) АМ+МС=3у, следовательно МO=

3 y

2

−

y

=

1

2

y

.

4)

По

теореме

о

пропорциональных

отрезках

в

треугольнике

BCM:

BN

NO

=

BK

KC

(

CO

OM

+

1

)

,

1

=

BK

KC

(

1 ,5 y

0 ,5 y

+

1

)

,

1

=

BK

KC

(

3

+

1

)

,

BK

KC

=

1

4

, что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

1.

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведена биссектриса

CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь

четырехугольника ADOE, зная, что BC =

a

, AC = b.

2.

В равнобедренный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его

вершины лежат на основании BC, а две другие — на боковых сторонах

треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в

треугольник, как 8 : 5. Найдите углы треугольника.

3.

В параллелограмме ABCD со сторонами AD = 5 и AB = 4 проведен

отрезок EF, соединяющий точку E стороны BC с точкой F стороны CD.

Точки E и F выбраны так, что BE : EC = 1 : 2, CF : FE = 1 : 5. Известно, что

точка M пересечения диагонали AC с отрезком FE удовлетворяет

условию MF : ME = 1 : 4. Найдите диагонали параллелограмма.

4.

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E — точка пересечения

продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку

пересечения

диагоналей

трапеции

проведена

прямая,

которая

пересекает меньшее основание BC в точке P, большее основание AD — в

точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем EF : FC = EP : EQ = 1 : 3.

Найдите

площадь

треугольника

EPF.

BM делит отрезок BM?