Алякина Татьяна Константиновна, преподаватель математики, Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского Края «Краснодарский торгово-экономический колледж»
Учебно-методическая разработка

для проведения теоретического занятия

по учебной дисциплине «Математика»

тема

«Пирамида. Правильная пирамида»
Настоящая методическая разработка содержит материал для проведения урока математики на тему «Пирамида. Правильная пирамида», предназначена для преподавателей математики в целях обмена опытом при подготовке и проведения учебного занятия.
Цель методической разработки:
- представить один из возможных вариантов проведения урока математики с использованием интерактивных средств обучения и внедрения в учебный процесс активных методов обучения.
Введение
Одной из целей современного образования является инф орматизация о б р а з о в ат е л ь н о го п р о ц е с с а . Б е з и с п о л ь з о в а н и я с о в р е м е н н ы х с р е д с т в и н ф о рм а ц и о н н ы х т е х н о л о г и й и и н т е р а к т и в н ы х с р е д с т в о бу ч е н и я у ж е невозможно представить образовательный процесс, отвечающий требованиям с о в р е м е н н о г о и н ф о р м а ц и о н н о г о о б щ е с т в а . И н ф о р м а ц и о н н о – коммуникационны е т ехнологии (И КТ) - важ нейш ая со ст авляю щ ая в с е х направлений деятельно сти современного преподавателя, с п о с о б с т ву ю щ а я оптимизации учебного процесса. Проведение уроков с использованием информационных технологий – это мощный стимул в обучении. По средством таких уроков а кт и в и з и ру ют с я психиче ские и интеллектуальные проце ссы обучающихся, с т и м ул и руе т с я развитие познавательного интереса. Из этого следует актуальность данной разработки урока, так как для его сопровождения создана интерактивная динамическая презентация. В методической разработке представлен организационный блок, который содержит методическую информацию, технологическую карту, а также список рекомендуемой литературы. Информационный блок предст авлен методиче скими р е ком е н д а ц и я м и преподавателя, материалом для студентов по изучаемой теме. К о н т р о л и р у ю щ и й б л о к п р е д с т а в л е н з а д а н и я м и , п о з в о л я ю щ и м и систематизировать и закрепить полученные знания. Н а з а н я т и и и с п о л ь з у е т с я н а г л я д н ы й м а т е р и а л : и н т е р а к т и в н а я презентация, модели геометрических тел, раздаточный материал. М е тод и ч е с ка я р а з р а б от ка п р ед п ол а г а е т и с п ол ь з о в а н и е н а з а н я т и и различных форм работы студентов: фронтальной, индивидуальной, работы в п а р а х . Урок разработан для студентов первого курса. Так как по учебному плану изучение темы «Пирамида. Правильная пирамида» должно быть во 2 семестре, т о д а н н у ю р а з р а б о т к у м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь т а к ж е п р и п од г о т о в к е к промежуточной атте стации.
1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ БЛОК

1.1.Методическая информация

Тема урока

Пирамида. Правильная пирамида.
Автор учебника, по которому ведётся обучение
В.А.Гусев «Математика», М. Издательский дом «Академия», 2013
Классификация урока (тип, вид)
Урок изучения и первичного закрепления нового материала, комбинированный
Дидактическая цель
создать условия для осознания и осмысления студентами блока новой учебной информации о пирамидах, их видах, основных элементов средствами системно- деятельностного подхода при использовании интерактивных средств обучения
Цели по содержанию:
Предметные: знать определения, виды, элементы пирамиды уметь называть и показывать элементы пирамиды на моделях и предметах окружающей обстановки, определять вид пирамиды уметь изображать модели пирамиды различных видов
Метапредметные:
Познавательные:  уметь ставить цели и находить пути решения  уметь анализировать текст учебника, вести самостоятельный поиск, отбор информации, выделять главное  уметь устанавливать причинно-следственные связи Коммуникативные:  уметь формулировать и аргументировать собственные суждения  уметь слушать преподавателя и других студентов  уметь работать в паре  уметь уважительно относиться к точке зрения других Регулятивные: уметь оценивать результаты своей деятельности,  уметь выполнять задания в соответствии с заданными правилами и временем  уметь контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности.
Личностные:
 уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,  уметь развивать интеллектуальные способности в процессе решения задач.
Знания, умения, навыки которые студенты актуализируют, приобретут, закрепят в

ходе урока
В результате проведения данного занятия студент должен: Иметь представления: о пирамиде, ее элементах Знать: определения пирамиды и ее элементов Уметь: называть и показывать элементы пирамиды на моделях, решать несложные типовые задачи; изображать пирамиды различных видов, находить и указывать на чертеже все необходимые для решения задач данные
Педагогические технологии:
элементы обучения в сотрудничестве (работа в микрогруппах), информационно– коммуникационные технологии.
Методы обучения
словесный, проблемного изложения, частично-поисковый, метод упражнений
Формы обучения

парная, фронтальная формы обучения
Средства обучения:
ПК, интерактивная установка, интерактивная презентация «Пирамида. Правильная пирамида», модели многогранников, дидактический раздаточный материал.
Содержание учебного материала
1. Определение пирамиды. 2. Элементы пирамиды: вершины, ребра, грани, высоты, углы. 3. Виды пирамид. 4. Изображение пирамиды. 5. Определение правильной пирамиды. 6. Изображение правильной треугольной пирамиды. 7. Определение апофемы. 8. Нахождение эйлеровой характеристики. 9. Задачи на нахождение элементов пирамиды.
Структура урока
1. Организация учебного процесса. 2. Мотивация познавательной деятельности. 3. Актуализация субъектного опыта студентов. 4. Целеполагание и проблематизация. 5. Изучение нового материала. 6. Первичное закрепление. 7. Информация о домашнем задании. 8. Оценка и рефлексия учебной деятельности. 9. Подведение итогов учебного занятия.
1.2 Технологическая карта урока

Этапы урока

Деятельность

преподавателя

Деятельность

обучающихся
Организация учебного процесса 2 мин. Приветствие, проверка готовности к уроку. Сообщение темы и целей урока. Слайд 1-2 Восприятие, осмысление. Запись даты и темы урока в рабочую тетрадь Мотивация познавательной деятельности 2 мин. Мотивационная беседа. Актуальность и важность изучаемого материала. Историческая справка Восприятие, осмысление. Актуализация субъектного опыта студентов 4 мин. Фронтальная беседа. Преподаватель предлагает студентам объединиться в микрогруппы, каждой группе раздаёт геометрические тела. Предлагает рассмотреть м од е л и геометрических тел и ответить на вопросы: Как называются тела, модели которых находятся у Вас на столе? Чем они похожи? Чем отличаются? Работа в парах. Устные ответы. Целеполагание и Фронтальная беседа. О т в е ч а ю т н а
проблематизация 5 мин. Дайте характеристику пирамиде, расскажите о ней все, что можете Ч т о м ы д о л ж н ы з н ат ь , ч т о б ы охарактеризовать пирамиду? П о п р о б у й т е с ф о р м у л и р о в а т ь о п р е д е л е н и е п и р а м и д ы к а к многогранника вопросы преподавателя, со ст авляют п л а н работы. Изучение нового материала 15 мин. План изложения нового материала Определение пирамиды Слайд 5 Преподаватель предлагает студентам н а й т и в у ч е б н о м п о с о б и и альтернативное определение пирамиды и записать в тетрадь то определение, которое для них более понятно. Элементы пирамиды Слайды 6 -13 (вершины, ребра, грани, высоты, углы) Виды пирамид Слайд14 Определение правильной пирамиды Слайд15 Изображение правильной пирамиды Слайд16 Понятие апофемы Слайд16 Выполняют задание, р а б о т а ю т с учебником, записывают определения. Восприятие, осмысление. Выполняют задание. Запись о п р е д е л е н и я в рабочую тетрадь Первичное закрепление 8 мин. Преподаватель предлагает Заполнить таблицу и найти эйлерову характеристику Слайд17 Задача на нахождение элементов пирамиды. Слайд18- 19 Выполняют задание. Контроль задания – комментированием с места Решение типовых задач. Информация о домашнем задании 3 мин. Сообщение о домашнем задании и порядке его выполнения Слайд20 Запись в рабочую тетрадь. Оценка и рефлексия учебной деятельности 3 мин. Организует рефлексию и деятельность по самооценке студентами собственной учебной деятельности Выполняют самооценку, з а п о л н я ю т л и с т контроля Подведение итогов учебного занятия 3 мин. Преподаватель предлагает - подвести итог работы на уроке Слайд21 - вспомнить, какую цель ставили - используя ключевые слова темы составить иллюстрированный рассказ О т в е ч а ю т н а вопросы преподавателя.
1.3. Методика реализации отдельных элементов плана урока

Мотивация занятия
Изучение программного материала по теме «Пирамида. Правильная пирамида» дает возможность: получить представление о широте применения геометрии в различных областях человеческой деятельности; познакомиться с некоторыми фактами истории геометрии;
усвоить систематизированные сведения о пространственных формах; научиться иллюстрировать и моделировать проекционным чертежом пространственные формы; решать задачи на нахождение элементов многогранников; овладеть набором приемов, применяемых для решения стереометрических задач.
Актуализация субъектного

опыта

студентов
содержит повторение учебного материала, которое рекомендуется провести в форме фронтального опроса. Цель повторения состоит в предварении восприятия учебной темы «Пирамида, Правильная пирамида», т.к. владение терминами и понятиями, изученными на предыдущих занятиях необходимо и является залогом успешного освоения нового учебного материала.
Целеполагание и проблематизация
Именно на данном этапе возникает внутренняя мотивация студента на активную, деятельностную позицию, возникают побуждения: узнать, найти, доказать. Используется прием «Работа над понятием». Обучающимся предлагается для визуального восприятия модели приз и пирамид. Необходимо сравнить эти многогранники, указать общие понятия и различия, дать характеристику пирамиде, перечислить ее элементы и сформулировать определение. Преподаватель предлагает студентам поставить цели урока. Студенты формулируют их и определяют задачи по их достижению. Изучение нового материала Начало объяснения нового материала преподаватель осуществляет методом актуализации учебной проблемы. Сообщение нового материала осуществляется методом демонстрации интерактивной презентации. Такой метод подачи учебного материала позволяет обучающимся запомнить максимум учебной информации, преподавателю увеличить плотность урока и оптимально увеличить его темп.
Первичное закрепление
Цель деятельности обучающихся на уроке формируется закреплением изученного материала. Закрепление нового материала осуществляется путём самостоятельной работы в парах (Учебное упражнение 1). Контроль выполнения заданий осуществляется комментированием с места. После окончания работы в микрогруппах, студентам предлагается задание на решение пространственной задачи (Учебное упражнение 3). В процессе решения задачи продолжается формирование умения проводить аналогию между плоскими и пространственными конфигурациями, видеть общность и различие свойств аналогичных структур на плоскости и в пространстве, использовать планиметрические сведения для описания и исследования пространственных фигур.
Информация о домашнем задании
Рекомендуется следующий план выполнения домашнего задания: Изучить материалы учебника под ред. В.А.Гусева «Математика», стр.212, гл.22, п.22.5; изучить материалы опорного конспекта; ответить на контрольные вопросы стр.213; выполнить упр.4, стр.214; изготовить модель пирамиды. Объем домашнего задания составляет 2 страницы учебного пособия и включает создание модели пирамиды с помощью развертки.
Сконструированная модель из бумаги позволит обучающимся передать геометрию предмета в пространстве. Изготовленные модели будут использоваться на практических работах при вычислении площадей поверхности и объёмов многогранников.
Оценка и рефлексия учебной деятельности
Рефлексивно – оценочный этап урока проведен на определение степени усвоения основных понятий и самооценки деятельности. Для выявления уровня осознания содержания пройденного использован прием «Рассказ». Студентам предлагается составить иллюстрированный рассказ, используя ключевые слова темы (Учебное упражнение 2). Самооценка и оценка работы группы и отдельных студентов. Обучающиеся заполняют лист контроля (Приложение 1), цель которого – научить адекватно оценивать себя.
1.4. Список используемой литературы для студентов
1. М.И. Башмаков, «Математика», учебник для СПО, М.: «Академия», 2013 2. М.И.Башмаков «Математика» (задачник), Академия, 2013. 3. В.А.Гусев «Математика», М. Издательский дом «Академия», 2013
ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК
В информационном блоке раскрыты все основные понятия изучаемой темы, даны четкие определения, приведены все формулы. Основные определения и понятия внесены в глоссарий, что облегчает усвоение материала.
Глоссарий
1.
Пирами́

да
—
многогранник
, основание которого -
многоугольник
, а остальные грани -
треугольники
, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д. 2.
Высота

пирамиды
– перпендикуляр, опущенный из вершины к плоскости основания. 3.
Правильная

пирамида
— это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. 4.
Апофема
- высота боковой грани, проведенная из вершины правильной пирамиды. 5.
Тетраэдр –
правильная треугольная пирамида.
2.2.Информационный материал
[8] Пирамида и ее элементы Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S - вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), пятиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды –
тетраэдр
. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.
Комментарий
: Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер равны. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.
Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
Комментарий
: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников: содержащий апофему SK и высоту SP; содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA. Чтобы упростить ссылки на эти треугольники удобнее называть первый из них
апофемным
, а вт о р о й
реберным
. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.
Ф о р м у л а

о б ъ е м а

пирамиды
: 1 ) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды 2 ) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды 3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер. Свойство основания высоты пирамиды: Точка P (смотрите рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий: 1) Все апофемы равны. 2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию. 3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды. 4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням.
Комментарий
: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы - это их элементы). Поэтому можно предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется
любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны. Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий: 1) Все боковые ребра равны 2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию 3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте
Комментарий
. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести: «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.
Площадь полной поверхности пирамиды
: Площадью поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней . Площадь боковой поверхности - сумма площадей всех боковых граней . Если все апофемы равны (например, в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p - полупериметр основания, а SK-апофема. Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому относится любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных можно найти у такой пирамиды все что угодно. Свойства правильной пирамиды  боковые ребра равны;  боковые грани равны (все — равнобедренные треугольники);  апофемы равны;  двугранные углы при основании равны;  боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания;  основание высоты пирамиды является центром вписанной и описанной около основания окружностей;  каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от вершин основания;  каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от боковых граней;  высота правильной пирамиды образует с апофемами равные углы. Боковая поверхность правильной пирамиды В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности.
БЛОК КОНТРОЛЯ
Контролирующий блок содержит вопросы фронтального опроса проверки уровня успешности по изучаемой теме, геометрическую задачу, требующую применения сведений из планиметрии, также представлено задание для работы студентов в парах.
Вопросы для фронтального опроса:
1. Сформулировать определение пирамиды. 2. Какая пирамида называется правильной? 3. Являются ли равными боковые ребра правильной пирамиды? 4. Верно ли утверждение о том, что если все боковые ребра пирамиды равны, то пирамида правильная? Обосновать ответ.
5. Верно ли утверждение о том, что если все боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию, то пирамида правильная? Обосновать ответ. 6. Боковые ребра пирамиды равны. В какую точку плоскости основания проектируется вершина, если в основании прямоугольник? 7. Чем являются боковые грани правильной пирамиды? 8. Боковые грани четырехугольной пирамиды равны между собой. Какой четырехугольник может быть ее основанием? 9. Основание пирамиды – квадрат. Боковые грани одинаково наклонены к основанию. Будет ли пирамида правильной? 10. Что называется апофемой? 11. Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в пирамиде?
Учебное упражнение 1
(работа в микрогруппе) Задание. Заполнить таблицу и найти эйлерову характеристику.
Наименование

многогранника

Число

вершин

Число

ребер

Число

граней

Эйлерова

характеристика

Учебное упражнение 2
Задание. Составить иллюстрированный рассказ, используя ключевые слова темы Апофема, вершина, грани, основание, правильная пирамида, ребро,тетраэдр.
Учебное упражнение 3
Задание. Решить задачу.
Заключение
Материалы методической разработки были внедрены на уроке, проведенном в рамках недели естественно-научных дисциплин. Данная методическая разработка для профильного уровня составлена в соответствии с требованиями ФГОС СПО. Она позволяет активно применять демонстрационный метод, интерактивные средства обучения, усиливающие наглядное представление геометрических тел, тем самым повышая мотивацию учебной деятельности. Использование новых информационных технологий не только оживляет учебный процесс, но и открывает большие возможности для формирования пространственных представлений.
Список используемой литературы для преподавателя
1. М.И. Башмаков, «Математика», учебник для СПО, М.: «Академия», 2013
2. М.И.Башмаков «Математика» (задачник), Академия, 2013 3. В.А.Гусев «Математика», М. Издательский дом «Академия», 2013 4. Б. Г. Зив, «Геометрия», дидактические материалы для 11 кл, М.: Просвещение, 2011. 5. С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов, «Изучение геометрии в 10—11 классах», книга для учителя, М.: Просвещение, 2010 6. В.А. Яровенко, «Поурочные разработки по геометрии: 10 класс», М.: ВАКО, 2010 7. В.А. Яровенко, «Поурочные разработки по геометрии: 11 класс», М.: ВАКО, 2010 8. ankolpakovpiramida-i-ee-elementy/
Приложение

ЛИСТ КОНТРОЛЯ

Фамилия, имя _______________________________________

№

п/п

Виды

деятельности

Максимальное

количество баллов

Набранные

баллы
1 Фронтальный опрос по 1 баллу за каждый правильный ответ 2 Практическое задание (работа в микрогруппе) 1-3 балла 3 Решение задач 3 балла 4 Дополнительная работа на уроке 1балл и больше Всего баллов: 8 и выше Оценка Критерии оценивания Оценка «5» выставляется за 8 и выше баллов «4» выставляется за 6 - 7 баллов «3» выставляется за 4 - 5 баллов