Автор: Умаева Анжела Руслановна
Должность: заведующий отделением, преподаватель
Учебное заведение: ГБПОУ "Чеченский государственный колледж"
Населённый пункт: г.Грозный
Наименование материала: Статья
Тема: Матричная экспонента
Раздел: высшее образование
Матричная экспонента
Введем экспоненту квадратной матрицы
A
, которая полезна для
получения явных решений линейной системы
x '
(
t
)=
Ax
(
t
)
.
Начнем с
нескольких предварительных замечаний относительно векторнозначных
функций
Векторнозначная функция
t → x
(
t
)
- это вектор, элементы которого
являются функциями
t
. Аналогично, матричнозначная функция
t → A
(
t
)
- это
матрица, элементы которой являются функциями:
[
x
1
(
t
)
⋮
x
n
(
t
)
]
A
(
t
)
=
[
a
11
(
t
)
⋯
a
1n
(
t
)
⋮
⋱
⋮
a
m1
(
t
)
⋯
a
mn
(
t
)
]
Операции исчисления, такие как взятие пределов, дифференцирование
и т. д., распространяются на векторнозначные и матричнозначные функции,
выполняя операции над каждой записью отдельно. Таким образом, по
определению,
lim
t→ t
0
x
(
t
)
=
[
lim
t →t
0
x
1
(
t
)
⋮
lim
t →t
0
x
n
(
t
)
]
Таким образом, этот предел существует , если
lim
t→ t
0
x
i
(
t
)
существует для
всех
i
∈
{
1 , ... , n
}
.
Аналогично, производной векторной или матричнозначной
функции является функция, полученная путем дифференцирования каждой
записи отдельно:
dx
dt
(
t
)
=
[
x
1
'
(
t
)
⋮
x
n
'
(
t
)
]
,
dA
dt
(
t
)
=
[
a
11
'
(
t
)
⋯
a
1n
'
(
t
)
⋮
⋱
⋮
a
m1
'
(
t
)
⋯
a
mn
'
(
t
)
]
где
x
i
'
(
t
)
- производная от
x
i
(
t
)
. Таким образом,
dx
dt
определяется, если каждая
из функций
x
i
(
t
)
дифференцируема. Производная также может быть описана в
векторной нотации, как
dx
dt
(
t
)
=
lim
h→0
x
(
t
+
h
)
−
x
(
t
)
h
(
1
)
Здесь
x
(
t
+
h
)−
x
¿
) вычисляется векторным сложением, а
h
в знаменателе
обозначает скалярное умножение на
h
−
1
. предел получается путем
вычисления предела каждой записи отдельно, как указано выше. Таким
образом, входы в (1) являются производными
x
i
(
t
)
. То же самое верно и для
матричнозначных функций.
Предположим, что
e
a
=
1
+
a
+
a
2
2!
+
a
3
3!
+
… , a
∈
R
Тогда можно определить
e
A
=
E
+
A
+
A
2
2!
+
A
3
3!
+
…, A
∈
R
n× n
(
2
)
Теперь
рассмотрим
матрицу
экспоненциально
и
покажем,
что
матричнозначная функция
e
At
=
E
+
At
+
A
2
t
2
2!
+
A
3
t
3
3 !
+
…
(где
t
−¿
переменный скаляр) может быть использована для решения системы
x '
(
t
)=
Ax
(
t
)
,
x
(
0
)=
x
0
: действительно, решение задается
x
(
t
)=
e
At
x
0
.