Построение сечений

тетраэдра и

параллелепипеда

.

Развитие пространственных представлений у учащихся.



Познакомить с правилами построения сечений.



Выработать навыки построения сечений тетраэдра и

параллелепипеда при различных случаях задания

секущей плоскости.



Сформировать умение применять правила

построения сечений при решении задач по темам

«Многогранники».

Цель работы:

Задачи:

Для решения многих

геометрических задач необходимо

строить их сечения различными

плоскостями.

Секущей плоскостью параллелепипеда

(тетраэдра) называется любая плоскость,

по обе стороны от которой имеются точки

данного параллелепипеда (тетраэдра).

L

Секущая плоскость пересекает грани

тетраэдра (параллелепипеда) по

отрезкам.

Многоугольник

, сторонами

которого являются данные

отрезки, называется

сечением

тетраэдра

(параллелепипеда).

L

При этом необходимо учитывать следующее:

1. Соединять можно только две точки, лежащие

в плоскости одной грани.

Для построения сечения нужно построить

точки пересечения секущей плоскости с

ребрами и соединить их отрезками.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные

грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна

точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо

построить дополнительную точку. Для этого

необходимо найти точки пересечения уже

построенных прямых с другими прямыми,

лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:



Четырехугольники



Треугольники



Треугольники

Параллелепипед имеет

6

граней



Четырехугольники



Шестиугольники



Пятиугольники

В его сечениях

могут получиться

:

D

A

B

C

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей

через точки M,N,K

D

A

B

C

M

N

K

1.

Проведем прямую через

точки М и К, т.к. они лежат

в одной грани (АDC).

2. Проведем прямую через

точки К и N, т.к. они лежат

в одной грани (СDB).

3. Аналогично рассуждая,

проводим прямую MN.

4. Треугольник MNK –

искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через

точки E, F, K.

E

F

K

L

A

B

C

D

M

1. Проводим КF.

2. Проводим FE.

3. Продолжим

EF, продол-

жим AC.

5. Проводим

MK.

7. Проводим EL

EFKL – искомое

сечение

Правила



6. MK AB=L



4. EF

AC =М



Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через

точки E, F, K.

E

F

K

L

A

B

C

M

D

Какие точки можно сразу

соединить?

С какой точкой, лежащей в

той же грани можно

соединить полученную

дополнительную точку?

Какие прямые можно

продолжить, чтобы получить

дополнительную точку

?

F и K, Е и К

ЕК и АС

С точкой F

Соедините получившиеся

точки, лежащие в одной

грани, назовите сечение.

ЕLFK

Правила

Второй способ

E

F

L

A

B

C

D

О

Построить сечение

тетраэдра плоскостью,

проходящей через

точки E, F, K.

K

Первый способ

Правила

Вывод: независимо от способа

построения сечения одинаковые.

Способ №1.

Способ №2.

A

1

А

В

В

1

С

С

1

D

D

1

Построить сечение параллелепипеда плоскостью,

проходящей через точки M,A,D.

М

1. AD

2. MD

3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A

1

B

1

C

1

)

4. AE

5. AEMD – сечение.

E

A

1

А

В

В

1

С

С

1

D

D

1

M

N

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей

через точки В

1

, М, N

O

К

Е

P

Правила

1. MN

2.Продолжим

MN,ВА

4. В

1

О

6. КМ

7. Продолжим MN и BD.

9. В

1

E

5. В

1

О ∩ А

1

А=К

8. MN ∩ BD=E

10. B

1

Е ∩ D

1

D=P , PN

3.MN ∩ BA=O