Тема урока «Понятие последовательности о непрерывности функции.

Приращение функции»

Дисциплина: Математика

Цели урока: Формирование понятий последовательности о непрерывности функций,

приращения функции и приращения аргумента.

образовательная:

углубление и систематизация теоретических знаний, отработка умений и навыков при решении

упражнений

развивающая:

развитие

самостоятельности,

потребности

к

самообразованию,

к

активной

творческой

деятельности;

воспитательная:

воспитание

чувства

ответственности,

культуры

общения,

уважения

друг

к

другу,

взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе;

Тип урока: формирование новых понятий.

Метод обучения: обучающая беседа.

Оборудование: учебник А.Н. Колмогорова “Алгебра и начала анализа” 10-11 кл.;

План занятия

I.

Организационный момент(5 минуты)

II.

Постановка цели урока (5 минут)

III.

Актуализация знаний (10 минут)

IV.

Изучение нового материала (40 минут)

V.

Закрепление материала (20 минут)

VI.

Домашнее задание (5 минут)

VII.

Подведение итогов занятия (5 минут)

Ход урока

I. Организационный момент:

Взаимное приветствие учителя и учащихся, проверка готовности учащихся к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока

Цели урока:

1.

Познакомимся с такими понятиями как приращение функции и приращение аргумента,

рассмотрим геометрический смысл приращения функции;

2.

Продолжим работу над развитием вычислительных навыков;

3. Будем воспитывать в себе познавательный интерес к предмету. Ведь французский романист

Анатоль Франс писал: «Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

III. Актуализация знаний: Сегодня мы с вами начнем изучение нового раздела алгебры

«Производная», а для этого мы должны вспомнить:

1. Что мы называем функцией, какие вы функции знаете?

2. Что мы называем аргументом, значением функции.

3. Можно ли задать площадь квадрата как функцию

4. Как найти значение функции в данной точке?

Пример: Найти значение функции f(x) = x

2

+ 2x в точке x

0

= -3.

Решение: f(x

0

) = f(-3) = (-3)

2

+ 2∙(-3) = 9 - 6 = 3

Ответ: f(-3) = 3

5. Определение тангенса угла;

IV. Изучение нового материала:

1. Непрерывность функции в точке.

1 Определение:

Функция f(x) называется непрерывной в точке х

0

, принадлежащей области

определения функции, если для любого положительного числа ε существует такое положительное δ,

что для всех х, удовлетворяющих условию

, будет выполнено неравенство

2 Определение: Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х

о

и в некоторой окрестности этой точки.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х

0

, если существует предел функции в этой точке и

он равен значению функции в этой точке, т.е.

. Равенство означает выполнение трех

условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x

0

и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х

о

;

3) предел функции в точке х

о

равен значению функции в этой точке.

Условие непрерывности функции в точке:

если односторонние пределы функции в точке х

0

существуют и равны между собой, то существует предел функции в точке х

0

, следовательно,

функция в точке х

0

будет непрерывна.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой

функции. Если х=х

0

— точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно

из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

Случаи появления разрывов

Рисунок

1. Функция определена в окрестности точки х

0

, но не определена в

самой точке х

0

.

2. Функция определена в точке х

0

и ее окрестности, но не существует

предела ƒ(х) при х→х

0

.

3. Функция определена в точке х

0

и ее окрестности, предел функции

в точке х

0

существует, но этот предел не равен значению функции

в точке x

0

.

2. Точки разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

- Точка разрыва х

0

называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке

односторонние пределы существуют, конечны и не равны. График функции в этой точке

претерпевает «скачок» равный разности между правым и левым пределом функции в этой точке.

- Точка разрыва х

0

называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере

один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График

функции в этой точке устремляется в бесконечность.

пример

Вид разрыва

Рисунок

точка х

0

=2 называется точкой конечного

разрыва

точка

х

0

=0

называется

точкой

устранимого разрыва. Положив g(х)=1

(вместо

g(х)=2)

при

х=0,

разрыв

устранится, функция станет непрерывной

x

0

=2 -точка разрыва второго рода.

3. Непрерывность функции через приращения функции и аргумента.

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, как изменяется

температура, как быстро растет цена на бензин. Из курса физики мы знаем, что работа есть

изменение энергии, а средняя скорость есть отношение перемещения к промежутку времени, за

которое было совершено перемещение.

Давайте рассмотрим график функции у = 4 -х

2

По графику найти значение функции в точке х

1

= 1 и х

2

=

2.

у

1

= f (1) = 3; у

2

= f(2) = 0;

Найдем изменение аргумента

Разность х

2

– х

1

= 2 - 1 = 1 пишут ∆x =1

Найдем изменение значений функции

Разность f(2) – f(1) = 0 - 3 = -3 пишут

f = -3

В этом примере мы вычислили значения функции f(x) в точках х

1

= 1 и х

2

= 2, и оценили

изменения

f этой функции при заданных изменениях аргумента

х.

Часто приходится сравнивать значение функции в некоторой фиксированной т.х

0

и значение

функции в различных точках х, расположенных в окрестности х

0,.

При этом удобно выражать

разность f(x) - f(x

0

) через разность х - х

0

, пользуясь понятиями “приращение функции” и

“приращение аргумента”.

Рассмотрим функцию у = f(x).

х

0

–

фиксированная точка

х – произвольная точка

Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х

0

.

Разность х - х

0

называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в

точке х

0

и обозначается

х, т.е.

х = х - х

0

, откуда следует, что х = х

0

+

х.

поэтому говорят, что первоначальное значение аргумента х

0

получило приращение

х.

Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x

0

) = f(х

0

+

х) – f(x

0

).

Эта разность называется приращением функции

f в точке х

0

, соответствующим приращению

х, и

обозначается

f, (дельта эф), т. е. по определению

∆f = f (x) - f(x

0

) или

f = f (х

0

+

х) – f(x

0),

откуда f (х

0

+

х) = f(x

0

) +

f.

Обратите внимание: при фиксированном значении х

0

приращение

f есть функция от

х, т.е.

f (х

0

+

х) = f(x

0

) +

f.

Пример 1:

Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х

0

, если

Решение:

физминутка

Обсудим геометрический смысл введенных понятий приращений аргумента и функции, его можно

понять, рассмотрев рисунок.

Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f.

Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + в.

Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки А(х

0

; f(x

0

) и В(х; f(x)), равен tgα.

Из

ABC – прямоугольный,

. Рассмотрим пример (а) из №184.

V. Закрепление материала: № 177(а1), 178(а) , 180 (а), 184 (б)

VI. Домашнее задание:

запишите в дневники домашнее задание:

1. Прочитать п.12, закончить№177(б), 178(б, г), 184 (в,г),

2. Выполнить практическую работу

VII. Подведение итогов урока.

Самоанализ

Цель урока:

Формирование понятий последовательности о непрерывности функций, приращения функции и

приращения аргумента

Для достижения цели урока определены главные задачи:

образовательная:

углубление и систематизация теоретических знаний, отработка умений и навыков при решении

упражнений

развивающая:

развитие самостоятельности, потребности к самообразованию, к активной творческой деятельности;

воспитательная:

воспитание чувства ответственности, культуры общения, уважения друг к другу, взаимопонимания,

взаимоподдержки, уверенности в себе;

Структура урока обобщения и систематизации знаний имеет вид: мотивация – анализ

содержания учебного материала – выделение главного – обобщение и систематизация знаний –

установление внутрипредметных и межпредметных связей – самоконтроль – контроль – коррекция.

Согласно данной структуры определены следующие этапы урока:

I.

Организационный момент

II.

Постановка цели урока

III.

Актуализация знаний

IV.

Изучение нового материала

V.

Закрепление материала

VI.

Домашнее задание

VII.

Подведение итогов занятия

Все этапы выполнены. На каждом этапе стремилась построить работу таким образом, чтобы каждый

ученик чувствовал себя полноценным участником образовательного процесса. Деятельность

учащихся была направлена на решение поставленных задач и развитие самого себя. Свою задачу

видела в том, чтобы вовлечь каждого в работу, создать условия для самореализации и уверенности в

себе.

На протяжении всего урока использовались индивидуальные, групповые, коллективные формы

работы, что способствовало активизации познавательной деятельности.

На данном уроке учитывались требования программы и стандарта.

Деятельность обучающихся была организована на критическое мышление, анализ, синтез,

классификацию и отбор материала, выбор правильного решения, умения взять ответственность на

себя (прослеживалась рефлексия – оценка своей работы, ответственность перед коллективом,

самоконтроль)

При подборе заданий к уроку старалась учесть объем и сложность учебного материала с

учетом возрастных особенностей и учебными возможностями данной группы.

Задания выстраивала по принципу от простого к сложному.

Считаю, что цели и задачи, поставленные на уроке, достигнуты.