Городская научно-практическая конференция обучающихся

«Открытия юных - 2020»

Секция «МАТЕМАТИКА»

Магическая алгебра

и её мистическая сторона

Дмитриев Станислав Владимирович,

ученик 11 класса

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 53 с углубленным изучением отдельных

предметов» города Чебоксары

Научный руководитель:

Лебедева Лидия Васильевна,

учитель математики

Чебоксары – 2020

1

Оглавление

стр

1.

Введение 3

2.

Легенда о магическом квадрате 4

3.

Способы составления магических квадратов 5



Правило «ло-шу» 5



Метод Рауз-Болла 6



Построение методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка 6



Метод террас 7



Построение магического квадрата n=5 7



Метод квадратных рамок 8



Метод Делаира или метод латинских квадратов 8



Судоку 9

4.

Заключение 10

5.

Библиографический список 10

6.

Приложение 1. Виды магических квадратов 11

7.

Приложение 2. Квадраты с дополнительными условиями. 13

2

1.

Введение

Последние годы у выпускников снова появилась заинтересованность в получении

хороших результатов на олимпиадах и конкурсах. Все знают, что при поступлении в ВУЗы и

ССУЗы стали обращать внимание не только на результаты ОГЭ или ЕГЭ, но и на активное

участие выпускника на предметных олимпиадах, на достижение хороших результатов. Но на

олимпиадах встречаются нестандартные задачи, способы решения которых нужно знать.

И снова стало актуальным умение решать логические задачи математики.

Наиболее интересными, на наш взгляд, являются задачи на составление магических

квадратов. Само понятие «магические квадраты» содержит тайну, загадку, а после знакомства

с историей и некоторыми свойствами этих квадратов, возникает желание продолжать

исследование.

Магические квадраты всегда привлекали внимание не столько своими математическими,

сколько скрытыми в них по мнению многих мистическими свойствами. В современном мире от

мистики уже давно отказались, но так и не отказались от теории магических квадратов, которая

теперь нашла своё новое применение в науке и обучении. На сегодняшний день важно

рассмотреть теорию в других возможных аспектах с целью поиска ещё не активизированных

способов её применения. Нас заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора

отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки.

Это побудило нас заняться исследовательской работой.

Сначала мы исследовали умение детей составлять магические квадраты.

Для этого предложили ученикам пятого математического класса составить простейший

магический квадрат 3 порядка. Мы попросили их расставить натуральные числа от 1 до 9 так,

чтобы сумма чисел столбцов и строчек была одинаковой.

Справились 2 ученика из 25

Справились

Несправились

Из чего мы сделали вывод, что

нужно рассказать 5 математическому классу про

магические квадраты для их успешного участия на олимпиадах и решению задач, связанных с

магическими квадратами.

Мы определились темой своей работы.

Тема исследования: заполнение магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов

3

Задачи исследования:

узнать историю появления самого понятия «магический квадрат»,

рассмотреть способы составления, показать основные особенности.

В нашей работе мы постарались отразить самые яркие, важные, интересные факты из

теории и практики составления магических квадратов. При этом перед нами раскрывались

любопытные математические свойства предмета исследования.

Методы исследования:

анализ литературы и Интернет-ресурсов,

эксперимент.

Этапы исследования:

1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Апробация найденных методов

3. Изучение программы Word и PowerPoint на уровне необходимом для заполнения

квадратов и вычисления их сумм

4. оформление работы

При выполнении работы были использованы следующие источники:

1. Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ.

— СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995.

2. Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. — Сеятель, 1924.

3. Б. А. Кордемский Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.

4. М. М. Постников Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.

5. М. Гарднер Математические досуги. — М.: Мир, 1972.

6. Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989.

1.

Легенда о магическом квадрате

В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том,

что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху.

На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков .

Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков,

получится такая таблица:

У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4 +3 + 8=15.

Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же

получается при сложении чисел любой из трех строк.

Тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей:

4+5+6=8+5+2=15.

4

Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со

столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «Ло-шу» и стали считать его магическим

символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу,

составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.

Итак, что называют магическим квадратом?

Числовой квадрат называют магическим, если суммы S каждого горизонтального ряда,

каждого вертикального ряда и обеих диагоналей одинаковы.

Числовым квадратом порядка n, где n – натуральное число, будем называть квадрат

разбитый на

𝑛

^2 клеток, на которых размещается натуральные числа от 1 до "

𝑛

" ^"2"

Квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого

столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

2.

Способы составления магических квадратов

Квадраты можно получить из «ло-шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90°,

180° или 270°, либо зеркально отражая его.

Если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше

методами получить еще 7 магических квадратов.

Новые магические квадраты получают:

1) методом террас

2) методом квадратных рамок

3) методом Делаира, или методом латинских квадратов

Правила построения

1)Прежде чем составлять свой квадрат, усвойте, что магических квадратов второго

порядка не бывает. Магический квадрат третьего порядка существует фактически только один,

остальные производные от него получаются с помощью поворота либо отражения основного

квадрата по оси симметрии. Чем больше порядок, тем больше существует возможных

волшебных квадратов этого порядка.

2)Изучите основы построения. Правила построения разных магических квадратов

подразделяются на три группы по порядку квадрата, а именно он может быть нечетным,

равным удвоенному или учетверенному нечетному числу. Общей методики для построения

всех квадратов в настоящее время не существует, хотя широко распространены разные схемы.

1.

Правило «ло-шу»

Квадраты можно получить из «ло-шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90°,

180° или 270°, либо зеркально отражая его.

Если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше

методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов.

Магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех

расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Будем рассуждать так.

Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом

столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых

столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением

центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х,

то должно выполняться равенство 4-15= = Зх + 3-15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы

должно стоять число 5.

2.

Метод Рауз-Болла

Несложно написать магический квадрат четвертого порядка:для этого запишем числа от 1

до 16 в квадрат по порядку.

Теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и

внутреннего квадратика:

5

3.

Построение методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка

Инструкция:

При диагонали соединяют не только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть

диагонали проводятся в четырёх угловых квадратах 4х4 (см. рис. );

Взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать:

1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40,

32-33.

4.

Метод террас

Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов

Построение магического квадрата методом террас, который применяется для построения

магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.

Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы.

В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми

рядами снизу вверх.

Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами

внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не

попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7

– вправо).

Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на

примере квадратов порядка 3 .

Записываем числа следующим образом: числа, не попавшие в заштрихованный квадрат,

сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо.

Получаем магический квадрат 3·3. Сумма чисел = 1

6

1

6

1

3

1

1

1

0

7

6

4

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

4

9

2

3

5

7

8

1

6

5.

Построение магического квадрата n=5

Построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.

Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.

1.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной

фигурерасположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в

примере с квадратом третьего порядка.

2.

Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз,

4,5,10–

влево,

24,25,20

–

вверх,

16,21,20

–

вправо.Получаем:

Методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного

порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между

каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите

нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до

50, построенный методом террас.

На рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный

чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

7

1

1

2

4

7

2

0

3

4

1

2

2

5

8

1

6

1

7

5

1

3

2

1

9

1

0

1

8

1

1

4

2

2

2

3

6

1

9

2

1

5

6.

Метод квадратных рамок.

Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4·m

(m=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4. Для магических квадратов четно-

четного порядка применяется метод квадратных рамок .

Алгоритм

На матричное поле (с изображённым на нём исходным

квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в

два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата

(см. рис ) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки

по строкам и столбцам).

Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до 2n

по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного

квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке,

вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки

квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д.

Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его

так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам

квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис.

7.

Построение магического квадрата методом Делаира,

или методом латинских квадратов.

Определение .Обобщённым латинским квадратом порядка n называется квадратная

таблица размером n· n, среди

𝑛

^2 элементов которой различными будут только n штук, и любой

из n различных элементов встречается ровно n раз внутри этой таблицы.

Описание метода построения:

8

1 этап. Строим обобщённый латинский квадрат порядка n следующим образом: каждая

строка нижней половины квадрата заполняется путём последовательного чередования чисел i и

n-i-1, где i – порядковый номер строки (строки нумеруются снизу вверх целыми числами от 0

до n-1); верхняя половина квадрата получается из нижней отражением относительно

вертикальной оси симметрии.

2 этап. Строим второй обобщённый латинский квадрат из первого. Для этого надо

повернуть построенный на первом этапе квадрат на 90 градусов по часовой стрелке. Замечу, что

полученные таким образом два латинских квадрата будут ортогональными, но я не стала давать

определение ортогональных латинских квадратов, потому что для понимания представленного

метода построения это не имеет значения.

3 этап. Строим совершенный квадрат следующим образом. Обозначим элементы первого

латинского квадрата

𝑎

элементы второго латинского квадрата –

𝑏

,тогда каждый

соответствующий элемент совершенного квадрата

𝑐

получается по формуле:

𝑐

=

𝑎

*n +

𝑏

+ 1

8.

«Судоку» - магический квадрат

Любителям магических квадратов предлагаем развеяться и поиграть в судоку. Судоку —

это головоломка-пазл с числами, ставшая в последнее время очень популярной. В переводе с

японского "су" — "цифра", "доку" — "стоящая отдельно". Иногда судоку называют

«магическим квадратом». Игровое поле представляет собой квадрат размером 9x9, разделённый

на меньшие квадраты со стороной в 3 клетки. Таким образом, всё игровое поле состоит из 81

клетки. В некоторых из них уже в начале игры стоят числа (от 1 до 9). В зависимости от того,

сколько клеток уже заполнены, конкретную судоку можно отнести к лёгким или сложным.

Построение простейшего судоку

1 шаг: делим квадрат 9*9 на 9квадратов 3*3

2 шаг: построим магический квадрат на одном из маленьких квадратов

3 шаг:Возьмем цифры 1-ой строчки и заполняем ими другие квадраты. То же сделаем и с

другими строчками

4 шаг: возьмем цифры 1 столбца и аналогично заполняем свободные клетки судоку.

Получили полумагический квадрат, у которого по горизонтали и вертикали суммы цифр равны.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

9

4

9

2

8

1

6

3

5

7

3

5

7

4

9

2

8

1

6

8

1

6

3

5

7

4

9

2

4

9

2

8

1

6

3

5

7

3

5

7

4

9

2

8

1

6

8

1

6

3

5

7

4

9

2

2

4

9

7

3

5

6

8

1

9

2

4

5

7

3

1

6

8

3

5

7

4

9

2

8

1

6

8

1

6

3

5

7

4

9

2

2

4

9

6

8

1

7

3

5

7

3

5

2

4

9

6

8

1

6

8

1

7

3

5

2

4

9

9

2

4

1

6

8

5

7

3

5

7

3

9

2

4

1

6

8

1

6

8

5

7

3

9

2

4

3

5

7

4

9

2

8

1

6

Выводы

1. Магический квадрат – древнекитайского происхождения.

2. Универсального способа заполнения магических квадратов нет.

3. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

4. Для квадратов нечетного порядка существует 3 способа: метод Ф.де ла Ира (на двух

квадратах), метод А.де ла Лубера (сиамский метод) и достраивание до симметричной

ступенчатой ромбовидной фигуры.

5.

Для квадратов, порядок которых кратен 4, существует способ разбиения на

подквадраты порядка 4.

6. Известные методы для заполнения нечетных квадратов можно автоматизировать. Для

этого идеально подходит программа Excel.

7. Эффективные шаблоны получаются для двух методов: Ф.де ла Ира и достраивания до

симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры.

8. С помощью подготовленных нами шаблонов можно создавать различные магические

квадраты для одного и того же порядка.

Заключение:

Мы осуществили все свои цели и задачи.

Изучили литературу по данному вопросу.

Узнали историю магических квадратов.

Ответили на вопрос: что такое магический квадрат и как его построить.

Провели занятие в 5 математическом классе.

Научились строить магические квадраты различными способами.

Библиографический список

1. Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ.

— СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995.

2. Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. — Сеятель, 1924.

3. Б. А. Кордемский Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.

4. М. М. Постников Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.

5. М. Гарднер Математические досуги. — М.: Мир, 1972.

6. Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989.

10

Приложение 1.

Виды магических квадратов

Квадрат Ло Шу

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Квадрат Ло Шу - единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё

в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н.э..

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний, уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в

индийском городе Кхаджурахо:

7

12

1

14

11

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4

Это

первый

магический

квадрат,

относящийся

к

разновидности

так

называемых «

дьявольских

» квадратов

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов.

Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй

рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из

его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он

сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти

ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37:

2

7

2

9

2

4

1

3

3

6

9

1

1

2

0

2

2

3

1

1

8

3

2

2

5

7

3

2

1

2

3

1

4

1

6

3

4

3

0

1

2

5

2

8

6

1

5

1

7

2

6

1

9

1

2

4

3

3

3

5

8

1

0

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I»,

считается самым ранним в европейском искусстве.Два средних числа в нижнем ряду указывают

дату создания гравюры (1514).

16

3

2

13

5

1

0

1

1

8

9

6

7

12

12

4

1

5

1

4

1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также

встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из

угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14),

в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах

(3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма

любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Приложение 2.

Квадраты с дополнительными свойствами

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский

квадрат или пандиагональный

квадрат —

магический

квадрат,

в

котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям

(диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если

принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то

остаётся только 3 существенно различных квадрата:

1

8

1

3

1

2

1

4

1

1

2

7

4

5

1

6

9

1

5

1

0

3

6

1

1

2

7

1

4

8

1

3

2

1

1

1

0

3

1

6

5

1

5

6

9

4

1

8

1

1

1

4

1

2

1

3

2

7

6

3

1

6

9

1

5

1

0

5

4

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка

двойной

чётности

n=4k

(k=1,2,3…)

и

не

существуют

для

порядка

одинарной

чётности

(

).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств,

за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не

существует.

Среди

пандиагональных

квадратов

двойной

чётности

выше

4

имеются

совершенные.

Пандиагональны квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных

переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1

1

5

2

4

8

1

7

9

1

8

2

1

1

2

5

1

2

2

1

1

0

1

9

3

2

0

4

1

3

2

2

6

2

3

7

1

6

5

1

4

Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный.

Пример идеального магического квадрата:

13

2

1

3

2

7

0

2

6

2

8

6

9

2

2

3

6

6

5

4

0

8

1

2

3

9

7

7

7

4

4

7

3

6

6

2

1

0

5

1

5

8

1

8

4

7

5

7

1

4

5

2

6

6

2

3

3

4

7

1

1

9

3

3

6

7

2

7

2

9

4

4

5

7

4

3

4

1

7

9

8

3

7

7

8

5

3

5

5

1

5

4

9

6

3

1

1

4

8

5

9

1

6

3

0

6

8

2

5

3

5

6

4

2

4

3

1

7

2

2

0

7

6

9

3

8

7

5

5

4

3

8

0

1

4

2

1

7

4

6

6

0

1

3

5

4

5

6

1

2

5

0

6

1

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и

квадрата порядка n = 4. В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8.

Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого

порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4…В 2008 г.

разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,

…

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный

магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата,

заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым

числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат

Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

6

7

1

4

3

1

3

3

7

6

1

3

1

7

3

7

3

6

1

1

9

3

7

4

3

3

1

5

4

1

7

1

1

7

3

2

9

6

7

1

7

2

3

1

3

14