Решение уравнений

в целых числах

ax+by=c, где

a,b,c-целые,

1)НОД(a,b)=1;

2) НОД(a,b)≠1.

Теорема 1. Если в уравнении

ax+by=c, НОД (а;в)=1, то

уравнение имеет, по крайней

мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении

ax+by=c, НОД (а;в)=d

≠

1, и с не

делится на d, то уравнение

целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении

ax+by=c, НОД (а;в)=1

, то

уравнение имеет бесконечное

множество целочисленных

решений , которые задаются

формулами :

х =

a+ bt

Y= β – a t

где (a ;β) – некоторое целочисленное решение уравнения ;

t – произвольное число.

1.Метод прямого перебора

•

Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и

других деталей, чтобы получить груз 30 кг?

Решение:

Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг.

Составим уравнение: 3х + 8у=30

Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3

Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом

Если х = 8, то 8·3+8>30 ,

Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.

Уравнение, содержащее несколько переменных и

Уравнение, содержащее несколько переменных и

решаемое в целых числах называется диофантовым

решаемое в целых числах называется диофантовым

Решите в натуральных числах уравнение 2х + 5у = 12

1) х =1

2· 1 + 5у = 12; у = 2

(1;2)

2) х =2

2· 2 + 5у = 12; у - дробное

3) х =3

2· 3 + 5у = 12; у - дробное

4) х =4

2· 4 + 5у = 12; у - дробное

5) х =5

2· 5 + 5у = 12; у - дробное

6) х =6

2· 6 + 5у = 12; у = 0

(6;0)

7) х > 6

2· 7 + 5у = 12; у < 0

Ответ: (1;2), (6;0)

Задача 15. В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них

18 ног. Сколько в клетке и тех и других?

Пусть кроликов х, у них 4 ноги.

Пусть фазанов у, у них 2 ноги.

4х + 2у = 18, 2х + у = 9; у = 9 – 2х

Перебор:

1) х = 1; у = 7

2) х = 2; у = 5

3) х = 3; у = 3

4) х = 4; у = 1

5) х = 5; у = -1 < 0

6) х > 5; у < 0

Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)

Уравнение ах +

Уравнение ах +

b

b

у = с

у = с

имеет целые решения, если

имеет целые решения, если

свободный член делится на НОД(

свободный член делится на НОД(

a,b)

a,b)

Решите уравнение 3х – 4у = 1 в целых числах.

3х = 4у + 1

Для целых решений левая часть должна делится на

3, следовательно, и правая часть делится на 3

Пусть у = 3р

Тогда 12р + 1 – не делится 3

Пусть у = 3р + 1

Тогда 12р + 4 + 1 – не делится 3

Пусть у = 3р + 2

Тогда 12р + 8 + 1 – делится 3

3х = 12р + 9

х = 4р + 3

12р + 9 – 4у – 1 = 1

12р + 9 – 4у = 1, 4у = 12р + 8

у = 3р + 2

Z

p



Ответ: х = 4р + 3; у = 3р + 2

Z

p



Уравнение имеет бесконечное

Уравнение имеет бесконечное

множество решений

множество решений

Неоднородное уравнение в целых числах

Уравнение ax + by = c, c ≠ 0 есть неоднородное

линейное уравнение с двумя неизвестными.

Решение. Это уравнение не имеет решения в целых

числах, так как при любых x , y левая часть

уравнения есть число, делящееся на 2, а правая−

число 17, которое на 2 не делится.

Таким образом, данное уравнение не разрешимо в

целых числах.

Пример 2. Решить уравнение 4 x − 6y = 17 в целых

числах .

Состоит из разложения на множители выражения,

равного свободному члену и подбору целых решений.

Задача 16. Решите уравнение ху + 2х + 3у =7 в целых числах.

Разложим левую часть:

ху + 2х + 3у

+ 6 – 6

+ 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6

(у +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7

(у +2)(х +3) = 13

13 имеет множители ±1, ±13. При этом

13>0

Поэтому для решения в целых числах получим системы:

1

2

13

3

1

2

13

3

13

2

1

3

13

2

1

3

































































y

x

y

x

y

x

y

x

3

16

1

10

15

4

11

2





















































y

x

y

x

y

x

y

x

Ответ: (-2;11),(-4;-15),(10;-1),(-16;-3).

Задача 18. Решите уравнение х

2

- 3ху + 2 у

2

= 11 в целых числах.

(x – y)(x – 2y) = 11

1

2

11

4)

1

2

11

3)

11

2

1

2)

11

2

1

)

1

































































y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

10

21

4)

10

21

3)

10

9

2)

10

9

)

1

















































y

x

y

x

y

x

y

x

Ответ : (-9;-10), (9;10) ,(21;10), (-21;-10).

11 имеет множители: ±1; ±11.

При этом 11 >0

Поэтому для решения в целых числах получим системы:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ :

ПОДСКАЗКА : 1) разложить левую часть на множители ;

найти множители числа 21 : ± 1; ±3; ±7; ±21.

У вас получится восемь систем. Их надо решить. Получить

целочисленные решения.

2) ху=5-х ; ху+х=5 ; х(у+1) =5.

найти множители числа 5: ± 1; ± 5.

У вас получится четыре системы. Их надо решить.

Получить целочисленные решения.