Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №10»

Методическая разработка

«Решение задач на проценты

с элементами

финансовой грамотности

в школьном курсе математики»

(практическое пособие для учащихся старших классов)

Авторы:

Волыхина Галина Серафимовна

Гуляева Татьяна Петровна

г. Печора

2019-2020 учебный год

1

Содержание:

1.

Введение 3

2.

Теоретический материал

4

3.

Задачи на товарно-денежные отношения

6

4.

Задачи на товарно-денежные отношения для самостоятельного решения 9

5.

Задачи на платежи 10

6.

Задачи на платежи для самостоятельного решения 11

7.

Задачи на инвестиции 11

8.

Задачи на инвестиции для самостоятельного решения 13

9.

Задачи на вклады 14

10.

Задачи на вклады для самостоятельного решения 16

11.

Задачи на кредиты 16

12.

Задачи на кредиты для самостоятельного решения 18

13.

Заключение

20

14.

Список литературы

20

2

Введение

«Деньгами надо управлять, а не служить им» - говорил римский философ

Луций Анней Сенека.

Финансовая грамотность – умение принимать разумные решения и

совершать эффективные действия в области управления деньгами для

реализации жизненных целей, которая помогает людям грамотно и эффективно

управлять своими личными финансовыми средствами.

Цель работы:

повышение финансовой грамотности старшеклассников

через решение практических задач в рамках школьного курса математики и

заданий ЕГЭ/ОГЭ.

Актуальность:

человек,

владеющий

финансовой

грамотностью,

реалистично оценивает свои финансовые возможности и адекватно оценивает

финансовые последствия принимаемых решений.

Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение

того или иного товара. В сегодняшние дни потребительские кредиты,

кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие

финансовые услуги очень распространены и играют важную роль в экономике

страны и каждой семьи.

Поэтому каждый старшеклассник должен уметь:

решать задачи на

доходы, расходы, кредиты и вклады. Для этого необходимо научиться

вычислять простые, сложные проценты; составлять математические уравнения

и неравенства для решения задач.

В пособии собраны задачи на товарно-денежные отношения, платежи,

инвестиции, вклады и кредиты.

3

Теоретический материал

Действие

или операция

В обыкновенных дробях

В десятичных дробях

За 100% принимается та величина, с которой сравнивают.

1% от числа А

1

100

∙ A

0,01∙А

Увеличение числа

A на р%

A ∙

(

1

+

р

100

)

;

А∙(1 + 0,01р)

Увеличение числа А на р

% 2 раза

A ∙

(

1

+

p

100

)

2

A∙(1 + 0,01p)

2

Увеличение числа А на р

% n раз

A ∙

(

1

+

p

100

)

n

A∙(1 + 0,01p)

n

Уменьшение числа

А на р%

A ∙

(

1

−

р

100

)

А∙(1 – 0,01р)

Уменьшение числа

А на р% 2 раза

A ∙

(

1

−

p

100

)

2

A∙(1 – 0,01p)

2

Уменьшение числа

А на р% n раз

A ∙

(

1

−

p

100

)

n

A∙(1 - 0,01p)

n

Простые проценты

A

n =

А

0

( 1 +

pn

100

)

А

0

(1 + 0,01pn)

Сложные проценты

A

n =

А

0

( 1

±

p

100

)

n

A

0

∙(1 ± 0,01p)

n

Увеличение числа А на р

%, а затем уменьшение на

к%

A ∙

(

1

+

p

100

)

∙

(

1

−

k

100

)

А∙(1 + 0,01p)(1 – 0,01k)

Обобщенная формула

сложных процентов

A

n =

А

0

( 1

±

p

1

100

) ( 1

±

p

2

100

)

∙

…

∙

( 1

±

p

n

100

)

или

А

n

= A

0

(1 ± 0,01p

1

)( 1 ± 0,01p

2

)∙…∙( 1 ± 0,01p

n

)

На сколько % число А

больше числа В

р

=

А

−

В

В

∙ 100

(

%

)

На сколько % число В

меньше числа А

р

=

А

−

В

А

∙ 100

(

%

)

При однократном

начислении процентов

через m дней на вклад под

р% годовых для обычного

года

А= А

0

( 1 +

р

100

∙

m

365

)

А = А

0

( 1 +

0,01 р ∙

m

365

)

Вычисление суммы

вклада при однократном

А= А

0

( 1 +

р

100

∙

m

366

)

А= А

0

( 1 +

0,01 р ∙

m

366

)

4

начислении процентов

через m дней на вклад под

р% годовых для

високосного года

При n-кратном

начислении процентов

через m дней на вклад под

р% годовых для обычного

года

А= А

0

( 1 +

р

100

∙

m

365

)

n

А= А

0

( 1 +

0,01 р ∙

m

365

)

n

При n-кратном

начислении процентов

через m месяцев на вклад

под р% годовых для

обычного года

А=

А

0

( 1 +

р

100

∗

m

12

)

n

,

А=

А

0

( 1 +

0,01 р ∙

m

12

)

n

,

Термины, встречающиеся в задачах:

- Простой процент – это

метод расчета процентов, при котором

начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга).

- Cложный процент (или по-другому “процент на процент”) – это такое

увеличение капитала, когда накопленная за первый период сумма прибавляется

к первоначальной, то есть, говоря экономическим языком, первоначальная

сумма капитализируется, и в новом периоде процент будет начисляться уже на

новую, увеличенную сумму).

- Банковский кредит – это услуга, в рамках которой банк одалживает

деньги заемщику на определенный срок и на определенных условиях.

- Аннуитетные платежи – это равные по размеру платежи, которые

погашают кредит.

- Дифференцированный платеж – способ погашения кредита, при

котором основной долг снижается на одну и ту же сумму, а проценты

начисляются на остаток долга.

- Депозит – это вклад в банке на определенный срок, в течение которого на

сумму вклада регулярно начисляются проценты.

- Акция – это ценная бумага.

- Скидка – это снижение на определенный процент или фиксированную

сумму цены товара.

- Комиссия банка – это оплата услуг финансового учреждения. Как

правило, она взимается за проведение платежей или переводов, внесение или

снятие наличных, обмен валюты и другие операции.

- Дисконт – это скидка с объявленной прейскурантной цены товара или

услуги, предоставляемая продавцом потребителю

.

- Котировка акций – это процесс определения рыночной цены акций,

выставляемых на биржевые торги.

-Пролонгация

– это продление договора на новый срок после его

окончания

.

5

Обозначения, встречающиеся в задачах.

А

о

– первоначальный капитал;

р – процентная ставка;

n –количество полных лет;

А

n

– сумма

капитала с начисленными процентами на конец n-го года.

1.

Задачи на товарно-денежные отношения

Пример 1. В кафе действует следующее правило: на ту часть заказа, которая

превышает 1000 рублей, действует скидка 25%. После игры в футбол

студенческая компания из 20 человек сделала в кафе заказ на 3400 рублей. Все

платят поровну. Сколько рублей заплатит каждый?

Решение:

1). (3400 – 1000) ∙ 0,25 = 600 (руб) размер скидки.

2). (3400 – 600)

20 = 140 (руб) заплатит каждый.

꞉

Ответ: 140

Пример 2. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатил покупатель за 60

тетрадей, если при покупке более 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от

стоимости всей покупки?

Решение:

1). Стоимость всей покупки 24 ∙ 60 = 1440 (руб)

2). Размер 10% скидки 1440 ∙ 0,1 = 144 (руб)

3). Стоимость покупки 1440 – 144 = 1296 (руб)

Ответ: 1296

Пример 3. Студент получил свой первый гонорар в размере 1500 рублей за

выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз

для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз

сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет

13% гонорара, розы стоят 120 рублей за штуку и букет должен состоять из

нечётного числа цветов?

Решение:

1). 100% - 13% = 87% = 0,87 денег останется.

2). 1500 ∙ 0,87 = 1305 (руб) останется после уплаты налога.

3). Составим неравенство:

120 ∙ (2n - 1) ≤ 1305

240n – 120 ≤ 1305

240n ≤ 1425

n ≤ 1425 : 240

n ≤ 5

15

16

Вычислим количество роз 2n – 1 = 2 ∙ 5 + 1 = 11

Ответ: 11

Пример

4.

Зарплата служащего составляла 2000 денежных единиц (д.е.)

Зарплату понизили на 20%, а вскоре повысили на 20%. Сколько денег стал

получать служащий?

6

Решение.

Так как 20% = 0,2, то используя формулу обобщённых сложных процентов,

находим новую зарплату служащего: 2000(1 - 0,2)(1 + 0,2) = 1920 (руб).

Ответ: 1920

Пример 5.

Зарплата служащего составляла 2000 денежных единиц (д.е.).

Зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили на 20%. Изменилась ли

первоначальная зарплата служащего, и если да, то на сколько денежных

единиц она изменилась?

Решение.

Так как 20% = 0,2, то по обобщённой формуле сложных процентов находим

новую зарплату служащего:

2000(1 + 0,2)(1 - 0,2) = 1920 (д.е.).

Следовательно, его зарплата уменьшилась на 2000 - 1920 = 80 (д.е.).

Замечание. Поскольку (1 + 0,2)(1 - 0,2) = 0,96, то сразу видно, что зарплата

уменьшилась на 4%, что в денежном выражении составило 80 д.е.

Ответ: уменьшилась на 80 д.е.

Пример 6. В июле товар стоил 5000 рублей. В ноябре цену на товар снизили на

7%, а в декабре подняли на 8%. Сколько рублей стоил товар после повышения

цены в декабре?

Решение:

7% = 0,07; 8% = 0,08

1). 0,93·5000 = 4650 (руб) стоимость товара в ноябре, после снижения на 7%.

2). 1,08·4650=5022 (руб) составила стоимость в декабре, после увеличения на

8%.

Можно решить задачу, применяя формулу сложных процентов, имеем:

5000(1 – 0,07)(1 + 0,08) = 5022 (руб)

.

Ответ: 5022.

Пример 7. Во время распродажи Паша купил четыре одинаковые по цене

футболки со скидкой 40%. Сколько таких футболок он мог бы купить на ту же

сумму, если бы скидка составила 60%?

Решение:

Обозначим через x цену футболки, тогда после скидки ее цена будет 0,6x, 4

футболки заплатили 4 ∙ 0,6x. При скидке 60% стоимость одной футболки будет

0,4x. Чтобы рассчитать количество футболок, надо разделить 4 ∙ 0,6x на 0,4x.

Получаем,

4 ∙ 0,6 х

0,4 х

= 6 футболок.

Ответ: 6.

Пример 8. В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали

на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

Решение:

60 ∙ 1,25 = 75 (руб)

Ответ: 75 руб.

Пример 9. Цена на товар была снижена на 10% и составила 2700 рублей.

Сколько рублей стоил товар до снижения цены?

7

Решение:

2700 : (1 – 0,1)= 3000 (руб)

Ответ: 3000 руб.

Пример 10. Цена на товар была повышена на 10% и составила 462 рубля.

Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Решение:

462 : (1 + 0,1) = 420 (руб)

Ответ: 420 руб.

Пример 11. Магазин закупает тарелки по оптовой цене 20 рублей за штуку и

продаёт с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких тарелок можно купить

в этом магазине на 300 рублей?

Решение:

1). 20 ∙ 1,3 = 26 (руб) стоит одна тарелка после наценки.

2). 300 : 26 = 11

14

26

тарелок. Наибольшее количество равно 11.

Ответ: 11.

Пример 12. Молодая семья состоит из двух человек: мужа и жены. Доход

семьи складывается из их зарплат. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое,

доход семьи вырос бы на 108%. Сколько процентов дохода семьи составляет

зарплата жены?

Решение:

100%

Исходя из схемы, зарплата мужа составляет

108% : 2 = 54%, соответственно зарплата жены

составляет 100% - 54% = 46%.

+108%

муж

жена

муж

муж муж

жена

Ответ: 46%.

Пример 13. Семья состоит из трёх человек: мужа, жены и их дочери студентки.

Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на

67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи

сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет

зарплата жены?

Решение:

100%

Условие «если бы зарплата отца

увеличилась

вдвое,

доход

семьи

вырос бы на 67%» означает, что

зарплата отца составляет 67% дохода

семьи.

+67% муж

жена

дочь

муж

муж

жена

дочь

100%

муж

жена

дочь

дочь

дочь

Условие «если бы стипендия дочери

уменьшилась втрое, доход семьи

сократился бы на 4%», означает, что

2/3 стипендии составляют 4% дохода

семьи, то есть вся стипендия дочери

составляет 6% дохода семьи.

-4%

муж

жена

дочь

Доход жены составляет:

8

100% - 67% - 6% = 27%

67%

?

6%

Ответ: 27%.

Пример 14. Мама дает Леше 1500 руб. в неделю. 20% денег Леша тратит на

проезд в транспорте, остальное – на карманные расходы. Стоимость проезда в

транспорте выросла на 30%. Сколько денег мама должна добавить Леше, чтобы

он мог столько же тратить на карманные расходы, сколько до повышения цен

на транспорт?

Решение:

1). 1500 ∙ 0,2 = 300 (руб) Леша тратит на проезд.

2). 300 ∙ 0,3 = 90 (руб) должна добавить мама.

Ответ: 90 руб.

Пример 15.Цена холодильника ежегодно уменьшается на одно и то же число

процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год

уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000

рублей, через два года он был продан за 15 842 рубля.

Решение:

Пусть a – часть, на которую каждый год уменьшалась цена холодильника.

Используя формулу сложных процентов, составим и решим уравнение:

20 000·(1

−¿

а)

2

= 15 842; (1

−¿

а)

2

=

15842

20 000

; (1

−¿

а)

2

= 0,7921;

(1

−¿

а)

2

= (0,89)

2

; 1

−¿

а

= 0,89 , так как (1 – а)

¿

0

; а = 0,11.

Следовательно, цена холодильника ежегодно уменьшалась на 0,11·100 = 11(%).

Ответ: 11%

Задачи для самостоятельного решения:

1.

В кафе действует следующее правило: на ту часть суммы заказа,

которая превышает 1000 рублей, действует скидка 20%. После игры в футбол

студенческая компания из 14 человек сделав кафе заказ на 2375 рублей. Все

платят поровну. Сколько рублей заплатит каждый?

(Ответ:150 руб)

2.

Пирожок в кулинарии стоит 12 рублей. При покупке более 30 пирожков

продавец делает скидку 5% от стоимости всей покупки. Покупатель купил 40

пирожков. Сколько рублей он заплатил за покупку?

(Ответ:456 руб.)

3.

Студент получил свой первый гонорар в размере 1300 рублей за

выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для

своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз

сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы

составляет 13% гонорара, розы стоят 90 рублей за штуку и букет должен

состоять из нечётного числа цветов?

(Ответ:11 роз)

4.

Рубашка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка на все товары

составляет 20%. Сколько рублей стоит рубашка во время распродажи?

(Ответ:1160 руб.)

9

5.

Магазин покупает учебники по оптовой цене 160 рублей за один учебник

и продаёт их по розничной цене, которая на 40% больше оптовой. Сколько

рублей стоит учебник в этом магазине?

(Ответ:224 руб.)

6.

Стоимость покупки с учётом 5-процентной скидки по дисконтной карте

составила 1216 рублей. Сколько рублей пришлось бы заплатить за покупку при

отсутствии дисконтной карты?

(Ответ:1280 руб.)

7.

Оптовая цена учебника 140 рублей. Розничная цена на 50% выше

оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по

розничной цене на 5000 рублей?

(Ответ:23)

8.

Молодая семья состоит из двух человек: мужа и жены. Доход семьи

складывается из их зарплат. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо,

доход семьи вырос бы на 174%. Сколько процентов дохода семьи составляет

зарплата жены?

(Ответ:42%)

10. Семья состоит из трёх человек: мужа, жены и их дочери студентки. Если

бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 118%.

Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился

бы на 7%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата

жены?

(Ответ:27%)

11. Мама дает Леше 5 000 руб. в месяц. 20% денег Леша тратит на проезд в

транспорте. Четыре раза в месяц он ходит в кино (билет стоит 250 рублей),

все остальное Леша тратит на еду, развлечения, подарки, канцтовары.

Стоимость проезда в транспорте выросла на 10%, билеты в кино подорожали

на 20%, прочие расходы не изменились. Сколько раз в месяц сможет Леша

пойти в кино, если мама дает ему прежнюю сумму денег?

(Ответ:3)

2.

Платежи

Пример 1. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в

Сбербанке, внося ежемесячно 250 рублей. Оплата должна производиться до 15-

го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется

пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько денег

придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение:

Так как по условию задачи А

0

= 250, p = 4, n = 7, то по формуле простых

процентов находим искомую величину А

7

= 250(1 + 0,01 ∙ 4 ∙ 7

¿

= 320(руб.).

Ответ: 320 рублей.

Пример 2. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После

удержания налога на доходы Иван Иванович получил 26100 рублей. Сколько

рублей составляет заработная плата Ивана Ивановича?

10

Решение:

26100 : (1 – 0,13) = 30000 (руб)

Ответ: 30000 руб.

Пример 3. При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия

3%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за

интернет составляет 400 рублей. Какую минимальную сумму нужно заплатить

через терминал, чтобы на счету фирмы, предоставляющей интернет-услуги,

оказалась сумма, не меньшая 400 рублей?

Решение:

1)

400 ∙ 1,03 = 412 (руб) плата с 3% комиссией.

2)

412 : 10 = 41,2 (шт) по 10 рублей, значит 42 штуки.

Ответ: 42.

Пример 4. Оплата за использование природного газа составляла 24 рубля на

одного человека в месяц. С нового года она повысилась на 25%. Сколько

рублей должна заплатить семья из четырёх человек за использование

природного газа за три месяца в новом году?

Решение:

1). 24 ∙ 1,25 = 30 (руб) оплата за газ в новом году с одного человека.

2). 30 ∙ 4 = 120 (руб) плата с семьи за один месяц.

3). 120 ∙ 3 = 360 (руб) плата за 3 месяца в новом году.

Ответ: 360 руб.

Задачи для самостоятельного решения:

1.

При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 5%.

Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счёт

своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму

она должна заплатить через данный терминал?

(Ответ:320)

2.

Оплата за использование природного газа составляла 20 рублей на

одного человека в месяц. С нового года она повысилась на 20%. Сколько рублей

должна заплатить семья из трёх человек за использование природного газа за

три месяца в новом году?

(Ответ: 216 руб.)

3.

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Сколько рублей

составляет заработная плата Павла Сергеевича до вычета налогов, если после

вычета у него остаётся 13 050 рублей?

(Ответ: )

4.

Стоимость проезда в электропоезде составляет 240 рублей. Школьникам

предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 3

взрослых и 8 школьников?

3.

Задачи на инвестиции

11

Пример

1.

Начальный

капитал

акционерного

общества

составляет

15

миллионов рублей. Ежегодно капитал увеличивается на 25%. Найдите

минимальное количество лет, после которых капитал акционерного общества

превысит 45 миллионов рублей.

Решение: Применим формулу сложных процентов.

15( 1 + 0,25 )

n

¿

45; 1,25

n

¿

3, n - искомое количество лет.

Так как 1,25

4

¿

3, а 1,25

5

¿

3, то n = 5.

Ответ: 5 лет.

Пример 2. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект

20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных

средств на 13 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты

остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений

процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в

первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый

годы. Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные

вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум

утроятся.

Решение:

1). 20(1+0,13) + n=22,6+ n (млн. руб.) – к началу 2-го года.

2). (22,6 + n) (1 + 0,13)= (22,6 + n)∙1,13=25,538 + 1,13 n + n = 25,538 + 2,13 n

(млн. руб.) – к началу 3-го года.

25,538+2,13n ≥2 ∙ 20; 2,13n ≥ 14,462; n ≥ 6,78; n = 7.

3). 25,538 + 2,13 ∙7 = 40,448 (млн. руб.) – к началу 3-го года.

4). 40,448(1 + 0,13) + m = 45,70624 + m (млн. руб.) – к началу 4-го года.

5). (45,70624 + m)∙1,13 + m = 51,6480512 + 2,13m (млн. руб.) – к концу 4-го года.

51,6480512 + 2,13m ≥ 3 ∙ 20; 2,13m ≥ 8,3519488; m ≥ 3,92…; m=4.

Ответ: 7 млн. руб., 4 млн. руб.

Пример 3. За некоторый период времени у господина Иванова количество

акций увеличилось на 15%. На сколько процентов увеличилась общая

стоимость акций господина Иванова, если цена каждой акции увеличилась на

20%?

Решение:

Пусть А

0

– цена одной акции, n – количество акций, Аn – общая стоимость

акций.

1).А

0

(1 + 0,2) = 1,2А

0

– стала цена одной акции.

2).n(1+0,15) = 1,15n – стало количество акций.

3). 1,2А

0

∙ 1,15n = 1,38А

0

∙ n=1,38А

n

– стала общая стоимость акций.

4).

1,38 А n

−

А n

А n

·100% = 38(%).

Ответ: на 38%.

Пример 4.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое

количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество

процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии

торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в

понедельник?

12

Решение:

Пусть А

0

первоначальная стоимость акций,

р - количество процентов,

на

которое в понедельник подорожали, а во вторник подешевели акции.

А

0

(1 + 0,01р)(1 - 0,01р) = А

0

(1 - 0,04);

1 – 0,0001р

2

= 1 - 0,04;

р

2

= 400; р = 20.

В понедельник акции подорожали на 20 (%).

Ответ: на 20%.

Задачи для самостоятельного решения:

1.

В октябре биржевая стоимость одной акции фирмы «Альфа» выросла

на 20% по сравнению с сентябрём, а в ноябре — ещё на 30% по сравнению с

октябрём и составила 312 рублей. Сколько рублей стоила одна акция в

сентябре?

(Ответ: 200 руб.)

2.По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое

число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств

вкладчика на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты

остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений

процентов нужны дополнительные вложения: по 20 млн рублей в первый и

второй годы, а также по 10 млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите

наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года

станут больше 200 млн, а за четыре года станут больше 270 млн рублей.

(Ответ: 136 млн. руб.)

3.Георгий приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год

возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Георгий может продать

бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма

на счёте будет увеличиваться на 10%. В течении какого года после покупки

Георгий должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после

покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

(Ответ: в течение 8-го года)

4. Акционерное общество объявило котировку своих акций на ближайшие 3

месяца с приростом в процентах последовательно по месяцам на 243 %, 412 %

и 629 % по отношению к каждому предыдущему месяцу. Каков средний

ежемесячный рост котировок акций за указанный период?

(Ответ: 404 %)

5. Дмитрий, Антон, Григорий и Борис учредили компанию с уставным

капиталом 200000 рублей. Дмитрий внёс 14% уставного капитала, Антон —

42000 рублей, Григорий — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть

уставного капитала внёс Борис. Учредители договорились делить ежегодную

прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Сколько

рублей от прибыли в 1000000 рублей причитается Борису?

(Ответ: 530000 рублей)

13

4.

Задачи на вклады

Пример 1. Вкладчик открыл счет и положил на него сумму в 25000 р. сроком

на 4 года под простые (без капитализации) проценты по ставке 11,5 % годовых.

Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На

сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращения?

На сколько процентов вырастет сумма вклада?

Решение.

1).

A

4

=

(

1

+

4 ∙ 11,5

100

)

∙ 25000

=

1,46 ∙ 25000

=

36500

(р.) будет сумма вклада через 4 года.

2). 36500 - 2500 = 1150(р.) на 11500 р. вклад вырастет за 4 года.

3).

36500

25000

= 1,46-коэффициент наращения.

4).1,46 ∙ 100% = 146 % составляет сумма вклада при закрытии через 4 года.

5).146 – 100 = 46% - на столько процентов вырастет сумма вклада.

Ответ:36500 руб., на 11500 руб., 1,46, на 46%

Пример 2. Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке

22% годовых, если через пять лет вклад достиг 94 500 рублей?

Решение:

А

5

= 94 500, p = 22, n = 5,

94 500

=

А

0

( 1 +

22 · 5

100

).

А

0

= 94500 : 2,1 = 45000(руб.).

Ответ: 45000 рублей.

Пример 3. Сколько лет лежал в банке вклад 70 000 рублей, если по ставке 19,2

% годовых простых процентов он достиг величины 150 640 рублей?

Решение:

А

0

= 70 000, А

n

= 150 640, р = 19,2. Если вклад пролежал n лет, то получаем

уравнение: 150 640

=

70 000( 1 +

19,2 · n

100

)

1 +

19,2 · n

100

= 2,152 ;

19,2 · n

100

=1,152; 19,2n=115,2; n =6.

Ответ: 6 лет.

Пример 4. Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк, если

вклад 12 000 рублей через 3 года достиг величины 14 160 рублей?

Решение:

А

0

= 12 000, А

3

= 14 160, n = 3.

14 160

= 12 000(1 +

р · 3

100

)

1 +

3 р

100

= 1,18; 3 р = 18; р = 6(%).

Ответ: 6%.

Пример 5. Один из видов срочных вкладов предусматривает начисление 9%

прибыли через год хранения денег в банке. Если спустя этот срок счет не

закрывается, то договор автоматически продлевается на тех же условиях

14

(пролонгируется). Какая сумма будет на счету через 3года при первоначальном

вкладе 17000 рублей и при той же процентной ставке? Результат (в рублях)

округлите до десятых.

Решение:

А

0

= 17 000, p = 9, n = 3. Применим формулу сложных процентов.

A

3

= 17 000·(1

+

0,09

)

3

= 22015,493

≈

22015, 5(руб.).

Ответ: 22015,5 рублей.

Пример 6. Сбербанк выплачивает 13 % годовых. Через сколько лет внесенная

сумма удвоится?

Решение:

Ао

(

1

+

0,13

)

n

= 2Ао;

(

1

+

0,13

)

n

= 2; 1,13

n

= 2; n = 6, т.к. 1,13

5

= 1,8424351793,

1,13

6

= 2,0819517526

Ответ: через 6 лет.

Пример 7. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по

вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно

через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б.

Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все

накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше

клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение:

Банк начислял р% годовых.

1). 7700(1 + 0,01р)2 (руб.) - клиент А. за два года получил.

2). 7700(1 + 0,01р) (руб.) - клиент Б. за один год получил.

3). 7700∙(1 + 0,01р)2 - 7700∙(1+0,01р) = 847

Примем х=1+0,01р, тогда 7700х

2

-7700х=847; 100х

2

-100х-11=0; х=1,1или х= -0,1

По условию задачи х ˃ 0. 1+0,01р = 1,1; р= 10. Тем самым, банк начислял

вкладчикам по 10% годовых.

Ответ: 10%

Пример 8. Вклад, положенный в банк 2 года назад, достиг 11449 рублей. Каков

был первоначальный вклад при 7% годовых? Какова прибыль?

Решение:

1).11449

=

А

0

( 1

+

0,07

)

2

А

0=

11449 : 1,07

2

, А

0=

11449 : 1,1449, А

0 =

10000

2).11449 – 10000 = 1449 (руб.)-прибыль

Ответ: 10000 руб., 1149 руб.

Пример 9. Какой депозит выгоднее: первый — на 1 год под 13% годовых, или

второй — на 3 месяца (с автоматической пролонгацией каждые три месяца в

течение года) под 12% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен

1/12 части года.

Решение:

Пусть А

0

— сумма депозита.

1).А = А

0

(1 + 0,13) = 1,13 А

0

–получит через год по условиям первого депозита.

15

2). А = А

0

(1 +

12

100

∙

3

12

)

4

= (1,03)

4

А

0

=1,1255088 А

0

–получит по условиям второго

депозита.

Ответ. Первый.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 5,5% годовых.

Вкладчик внес в банк 150 тысяч рублей под простые проценты. Какой станет

сумма вклада через 2 года?

На сколько рублей вырастет вклад за 2 года? Чему равен коэффициент

наращения? На сколько процентов вырастет сумма вклада?

(Ответ: 166500 руб., на 16500 руб., 1,11, на 11%)

2.

Вклад, положенный в банк 3 года назад под простые проценты, достиг

108900 рублей. Каков был первоначальный вклад при 7% годовых?

(Ответ: 90000 руб.)

3.

Известно, что ставка банковского процента равна 15%. Определите,

через сколько лет начальный вклад 216 000 рублей, положенный под простые

проценты, возрастет до 475 200 рублей.

(Ответ: через 8 лет)

4. Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк, если через 4

года сумма вклада увеличивается на 20%?

(Ответ: 5%)

5.

Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 5,5% годовых.

Вкладчик внес в банк 150 тысяч рублей. Какой станет сумма вклада через 2

года?

(Ответ: 166953,75 руб.)

6.

Банк начисляет ежегодно 7% от суммы вклада. Найдите наименьшее

число лет, за которое вклад вырастает более чем на 20%.

(Ответ: 3 года)

7.

В банк внесен вклад 64 000 рублей на 3 года. Определите ставку

процента, если через 3 года на счету вкладчика оказалось 85184 рублей.

(Ответ: 10%)

8.

Известно, что ставка банковского процента равна 20 %. Определите,

каков был первоначальный вклад, если

через 4 года

вклад возрастет до

2073600 рублей.

(Ответ: 1000000)

9. В не високосном году клиент открыл вклад в банке 1 сентября сроком на 1

месяц под 12% годовых. Сколько рублей окажется на счёте вклада 1 октября

того же года, если сумма вклада равна 100000 рублей?

(Ответ. 100986,30 руб.)

5.

Задачи на кредиты

16

Пример 1. 11 января 2015 года Владимир взял в банке некоторую сумму денег

в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 11 января

каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму

долга, затем Владимир переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял

Владимир в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то

есть за 4 года?

Решение:

В данной задаче рассматривается аннуитетный платёж кредита.

А

0-

сумма кредита.

1).1,1А

0

– 2928200 (руб.) – долг на 12 января 2016 года.

2) (1,1 А

0

– 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21А

0

– 3221020 – 2928200 = 1,21 А

0

–

6149220(руб.)-долг на 12 января 2017 года.

3) (1,2А

0

– 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331А

0

– 6764142 – 2928200 = 1,331А

0

–

9692342(руб.)-долг на 12 января 2018 года.

4) (1,331А

0

– 9692342)∙1,1 = 2928200; 1,4641А

0

– 10661576 = 2928200;

1,4641А

0

= 13589776;

А

0

= 9281999,8

Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.

Ответ: 9282000 руб.

Пример 2. 25 марта 2016 года Семён Петрович взял в банке 8599000 рублей в

кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 24 марта

каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму

долга (то есть увеличивает долг на 14%), затем Семён Петрович переводит в

банк одну и ту же сумму рублей. Какой должна быть эта сумма, чтобы Семён

Петрович выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение:

Х-сумма ежегодного платежа.

1) 8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х (руб.)-долг на 25 марта 2017 года.

2) (9802860 - Х)1,14 – Х=11175260 – 2,14Х (руб.) – долг на 25 марта 2018 года.

3) (11175260 – 2,14Х) 1,14 – Х = 12739796 – 3,4396Х (руб.) - долг на 25 марта

2019 года.

12739796 – 3,4396Х= 0; 3,4396Х= 12739796; Х=3703860

Ответ: 3703860 рублей

Пример 3. 31 декабря 2017 года Андрей Николаевич взял в банке 1000000

рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого

следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем

Андрей Николаевич переводит в банк очередной транш. Он выплатил кредит

за два транша, то есть за два года. В первый раз перевел в банк 660000 рублей,

во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Андрею

Николаевичу?

Решение:

р - процентная ставка по кредиту.

1). 1000000 ∙ (1 + 0,01р) – 660000 = 340000 + 10000р (руб.) - долг на 1 января

2019 года.

17

2) (340000 + 10000р) ∙ (1 + 0,01р) – 484000(руб.) - долг на 1 января 2020 года.

3).(340000 + 10000р) ∙ (1 + 0,01р) – 484000 = 0; 100р

2

+13400р-144000=0;

р

2

+ 134∙р – 1440 = 0; р = 10 или р = -144

Т.к. р ˃ 0, то р = 10.

Ответ: 10%

Пример 4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на

некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: каждый январь

долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля

по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года

долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего

года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма

выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение:

В данной задаче рассматривается дифференцированный платеж кредита.

n- количество лет, А

n

- сумма всех выплат.

Суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов):

16,

16

−

16

n

=

16

(

n

−

1

)

n

, …,

16 ∙ 2

n

,

16

n

;0 .

Последовательность размеров платежей по процентам будет следующей:

16·0,25 = 4;

16

(

n

−

1

)

n

∙ 0,25

=

4

(

n

−

1

)

n

; …;

16 ∙ 2

n

∙ 0,25

=

8

n

;

16

n

∙ 0,25

=

4

n

Ежегодный платёж состоит из фиксированной суммы

16

n

и суммы платежа по

процентам, поэтому ежегодные платежи составят соответственно

16

n

+

4 ;

16

n

+

4

(

n

−

1

)

n

;… ;

16

n

+

8

n

;

16

n

+

4

n

.

А

n

= 16+ 4+

4

(

n

−

1

)

n

+…+

8

n

+

4

n

= 16+

4

¿¿

=16+2(n+1) = 2n+18.

2n+18=38; n=10.

Ответ: на 10 лет.

Пример 5.

В банке получена ссуда в размере 40 млн. руб. на 8 лет на следующих условиях:

для первых трех лет процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год

она увеличивается на 2%, и на последующие годы еще на 2,5%. Найдите сумму,

которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при

ежегодных начислениях сложных процентов.

Решение.

A

=

40 ∙

(

1

+

28

100

)

3

∙

(

1

+

30

100

)

1

∙

(

1

+

32,5

100

)

4

=

40∙ 1,28

3

∙ 1,3 ∙ 1,325

4

≈ 336,122

Ответ: 336 млн. руб.

Задачи для самостоятельного решения:

18

1.

20 января 2018 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в

кредит.

Схема

выплаты

кредита

следующая—

20-го

числа

каждого

следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга

(т.е. увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк

платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич мог

взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 275 тыс. рублей?

(Ответ. 5 месяцев)

2. 15 января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его

возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по

сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого

месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца

долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число

предыдущего месяца. Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая

сумма выплат после полного погашения равнялась 1,3 млн рублей?

(Ответ: 1 млн рублей)

3

20 декабря 2015 года бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10%

годовых. Схема выплаты кредита следующая: до 20 ноября каждого

следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е.

увеличивает долг на 10%), затем до истечения этого же платёжного периода

(т.е. по 20 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определённую

(одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была

сумма кредита (в рублях), если сумма ежегодного платежа составила 2662000

рублей?

(Ответ: 6620000 руб.)

4.Ольга Андреевна хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита

происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после

начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное

количество лет может Ольга Андреевна взять кредит, чтобы ежегодные

выплаты были не более 24000 рублей?

(Ответ: на 6 лет)

5. В июле планируется взять кредит на сумму 1000000 рублей. Условия его

возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с

концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо

выплатить некоторую часть долга; ежегодные выплаты не превышают

300000 рублей. На какое минимальное число рублей сумма выплат может

превышать размер кредита?

(Ответ:на 278980 руб.)

19

Заключение

Каждый человек знает, что такое деньги, но далеко не все умеют с ними

обращаться. Многие полагают, что главное – заработать деньги, а уж потратить

всегда легко. В результате денег не хватает ни на крупные покупки, ни на

непредвиденные

расходы.

В

данном

пособии

представлены

задачи

на

проценты.

Проценты – одна из важных тем математики, без которой не обойтись при

решении конкретных жизненных задач. Которые помогают разобраться в том,

как правильно рассчитать

доходы и расходы. В данном пособии даются

рекомендации по применению знаний, полученных в школе о процентах.

Литература

1.

Бродский И.Л., Видус А.М., Коротаев А.Б. «Сборник текстовых задач по

математике для профильных классов» 7-11, М. :АРКТИ, 2004.

2.

Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ математика профильный уровень. М.

«Национальное образование» 2016, 2017, 2018, 2019.

3.

Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. М. «Экзамен»

2016.

4.

Чумаченко В.В., Горяев А.П. Основы финансовой грамотности Москва

«Просвещение» 2019.

5.

Шестаков С. А. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим

содержанием. Задача 17 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко.

Электронное издание. М.: МЦНМО, 2017.

6.

Ященко И.В. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. М. «Экзамен»

2016.

20