ГОРОДСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

МОЛОДЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ В РАМКАХ ВСЕРОССИЙСКОЙ

НАУЧНО-СОЦИАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

ПЕРВЫЙ ШАГ В ЧЕТВЁРТОЕ

ИЗМЕРЕНИЕ

Авторы:

Ишутченко Константин

г. Лангепас, СОШ № 5, 11 класс.

Руководитель: Ремизова Ирина Федоровна,

учитель математики СОШ №5.

0

Лангепас, 2020.

Оглавление

Оглавление.....................................................................................................................................1

1. Введение.....................................................................................................................................2

2. Основная часть...........................................................................................................................4

2.1 Гиперкуб...............................................................................................................................4

2.2 Изображение гиперкуба......................................................................................................6

2.3 Гиперпирамида....................................................................................................................8

2.4 Изображение гиперпирамиды..........................................................................................10

2.5 Объём границы гиперкуба................................................................................................11

Заключение...................................................................................................................................12

Литература:..................................................................................................................................13

1

1. Введение

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века в

работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана и других математиков. В начале ХХ века с

появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали

использовать четырёхмерную пространственно – временную систему координат.

Потом идею четырёхмерного пространства у учёных позаимствовали фантасты. В

своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвёртого измерения.

Герои их произведений, используя свойства четырёхмерного пространства, могли съесть

содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не открывая бутылки, развязать

узел на верёвке, не прикасаясь к её концам и т.д.

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырёхмерные фигуры

человек не может, так как он трёхмерное существо. Субъект воспринимает трёхмерные

фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырёхмерных

фигур необходима трёхмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Так как человек непосредственно не может воспринимать четырёхмерные фигуры,

попытаемся

познать

их

опосредованно.

В

качестве

инструмента

восприятия

четырёхмерных фигур мы воспользуемся методами системного анализа.

Проблема

Для обычного человека идея четырёхмерного пространства непонятна и таинственна,

так как люди непосредственно не могут воспринимать четырёхмерные объекты, а многие

вообще считают четырёхмерное пространство плодом воображения учёных и фантастов,

не имеющего никакого отношения к реальности, значит ли это, что четырёхмерного

пространства не существует?

Рабочая гипотеза.

Если

мы

сможем

дать

определение

четырёхмерного

объекта,

получить

его

«изображение», изучить его свойства, «измерить » или вычислить его размеры, то тем

самым подтвердим факт существования четырёхмерного пространства.

Цель исследования:

Изучить, используя принцип математического моделирования четырёхмерные фигуры:

гиперкуб, гиперпирамиду.

Задачи



Дать определение гиперкуба и гиперпирамиды.



Изучить геометрическую модель гиперкуба и гиперпирамиды.



Изучить динамическую модель гиперкуба и гиперпирамиды.

2



Исследовательским путём получить формулу гиперобъёма гиперкуба.



Решить задачи на вычисление объёма границы гиперкуба.

3

2. Основная часть

2.1 Гиперкуб.

Чтобы составить наглядное представление о четырёхмерных фигурах, будем

использовать аналогии из пространств низшей размерности.

КУБ – трёхмерный прямоугольный параллелепипед с равными измерениями, граница

которого состоит из квадратов.

ГИПЕРКУБ – четырёхмерная фигура, граница которой состоит из кубов.

Гиперкуб является аналогом трёхмерного куба.

Мы будем иметь представление о гиперкубе, если познаем его свойства. Субъект

воспринимает

некоторый

объект,

представляя

его

в

виде

некоторой

модели.

Воспользуемся данным методом и представим гиперкуб в виде геометрической модели.

Геометрическая модель.

Как мы получаем геометрическую модель трёхмерного куба? Мы делаем его

развёртку, а из развёртки «склеиваем» модель куба. Развёртка трёхмерного куба состоит

из квадрата, к сторонам которого приложено по квадрату плюс ещё один квадрат.

Примыкающие квадраты поворачиваем вокруг сторон квадрата, а соседние стороны

квадратов соединяем друг с другом. А оставшиеся четыре стороны замыкаем последним

квадратом.

Развёртка трёхмерного куба.

Аналогично рассмотрим развёртку гиперкуба. Его развёрткой будет являться

трёхмерная фигура, состоящая из исходного трёхмерного куба, шести кубов,

примыкающих к каждой грани исходного куба и ещё одного куба. Всего восемь

4

трёхмерных кубов. Чтобы из данной развёртки получить четырёхмерный куб (гиперкуб),

нужно повернуть на 90 градусов каждый из прилегающих кубов. Эти прилегающие кубы

будут расположены в другом трёхмерном пространстве. Соседние грани (квадраты) кубов

соединить друг с другом. Вложить восьмой куб гранями в оставшееся незаполненное

пространство. Получим четырёхмерную фигуру – гиперкуб, граница которого состоит из

восьми трёхмерных кубов.

Развёртка четырёхмерного куба (гиперкуба)

5

2.2 Изображение гиперкуба.

Изображения мы получаем с помощью проекции. Центральная проекция трёхмерного

куба (его изображение на плоскости) выглядит следующим образом.

Изображение трёхмерного куба.

Внутри квадрата находится другой квадрат. Соответствующие вершины квадрата

соединены отрезками. прилегающие квадраты изображены в виде трапеций, хотя в

трёхмерном пространстве это квадраты. Внутренний и внешний квадраты разных

размеров, но в реальном трёхмерном пространстве это равные квадраты.

Аналогично центральная проекция четырёхмерного куба на трёхмерное

пространство будет выглядеть так: внутри одного куба находится другой куб.

Соответствующие вершины кубов соединены отрезками. Внутренний и внешний кубы

имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это

равные кубы.

6

Шесть усечённых пирамид – изображения равных шести ячеек (кубов)

четырёхмерного куба.

Гиперкуб имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 грани, 8 ячеек (кубов). Из каждой вершины

исходят по четыре взаимно – перпендикулярных ребра. Границей гиперкуба является

трёхмерная замкнутая выпуклая фигура, объём которой равняется восьми единичным

трёхмерным кубам. Внутри себя эта фигура содержит единичный гиперкуб, гиперобъём

которого равняется гиперобъёму единичного гиперкуба.

Изображение четырёхмерного куба (гиперкуба).

7

2.3 Гиперпирамида.

ПИРАМИДА – многогранник, у которого одна грань является произвольным

многоугольником, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

ГИПЕРПИРАМИДА – четырёхмерная фигура, состоящая из многогранника и точки,

находящейся вне трёхмерного пространства, содержащего данный многогранник и всех

отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками границы многогранника. Данный

трёхмерный многогранник является основанием гиперпирамиды, а данная точка – её

вершиной.

ГИПЕРТЕТРАЭДР - гиперпирамида, основанием которой является тетраэдр

(трёхмерная фигура).

Развёртка трёхмерного тетраэдра состоит из четырёх равных правильных

треугольников.

8

Аналогично развёрткой гипертетраэдра будет являться трёхмерная фигура, состоящая

из пяти тетраэдров.

Развёртка гипертетраэдра.

Развёртка кубическая гиперпирамиды.

D

C

A

B

E

1

E

3

E

2

E

4

9

2.4 Изображение гиперпирамиды.

Изображением трёхмерной пирамиды на плоскости является четырёхугольник с

диагоналями. Как мы соотносим это изображение, которое является моделью трёхмерной

пирамиды с оригиналом?

Вершины основания пирамиды лежат в одной плоскости. Вершина пирамиды лежит

вне плоскости основания. Она соединена с вершинами основания рёбрами .

Аналогично получим изображение гиперпирамиды. Изображение гиперпирамиды

будет являться пятиугольник с проведёнными диагоналями. Граница гиперпирамиды

состоит из пяти трёхмерных пирамид.

Пусть основанием гиперпирамиды является тетраэдр. Все четыре вершины его лежат в

одном трёхмерном пространстве. Возьмём точку, не принадлежащую трёхмерному

пространству, в котором находится основание гиперпирамиды, она находится в другом

трёхмерном пространстве. Соединим вершину гиперпирамиды с вершинами

многогранника основания гиперпирамиды. Получим пятиугольник с проведёнными

диагоналями. Данное изображение является моделью гиперпирамиды – четырёхмерной

замкнутой фигуры. Сама граница (оболочка) гиперпирамиды состоит из пяти трёхмерных

пирамид.

10

2.5 Объём границы гиперкуба.

Мерой границы гиперкуба является величина, называемая объёмом границы

гиперкуба. Получим формулу вычисления объёма этой границы.

Границей трёхмерного куба является плоская фигура, состоящая из шести квадратов

(вспомним развёртку), т.е. вычисляется по формуле:

S

полн

=6S

квадр

Аналогично объём всей границы гиперкуба будет равен:

V

полн

=8V

куб

Гиперобъём гиперкуба.

Так как граница гиперкуба представляет собой трёхмерную замкнутую оболочку,

расположенную в четырёхмерном пространстве, то внутри себя эта граница содержит

четырёхмерную фигуру, мерой которой является величина, называемая гиперобъёмом.

Единицей измерения гиперобъёма является единичный гиперкуб. Единицами

измерения гиперобъёма являются: 1 мм

4

, 1 см

4

, 1 дм

4

и т.д.

К формуле вычисления гиперобъёма гиперкуба можно прийти на основе анализа

закономерностей в пространстве низших размерностей. Запишем эти закономерности в

виде таблицы:

Фигура

Размерность

Основание

Мера

Формула

квадрат

двумерная

отрезок

площадь

S=a

2

куб

трёхмерная

квадрат

объём

V=a

3

гиперкуб

четырёхмерная

куб

гиперобъём

W=a

4

ПРИМЕР.

УСЛОВИЕ



Вычислить полный объём границы гиперкуба и гиперобъём с ребром

основания, равным 4см.

РЕШЕНИЕ

Основанием гиперкуба является куб с ребром а, поэтому: Vосн. = а

3

. Боковой объём

гиперкуба равен объёму семи боковых ячеек (трёхмерных кубов), то есть

Vбок = 7Vкуб, т.е.V

полн

=8V

куб

. Подставим данные величины в формулу полного

объёма границы гиперкуба.

Vполн. = 8*4

3

=512 см

3

.

W=4

4

=256 см

4

11

Заключение.

В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырёхмерным

пространством. Изложение велось на основе различных моделей.

Мир четырёхмерного пространства удивителен! Как видим, четырёхмерные

фигуры можно изучать и познавать так же, как и трёхмерные, хотя в четырёхмерном

пространстве существуют фигуры, аналогов которых нет в пространствах низших

размерностей.

Человек стремится узнать новое и неизвестное ради простого любопытства. Но как

показывает история человеческой цивилизации, знания, полученные человеком, в

конечном итоге находят некоторое практическое применение.

Знания о четырёхмерных фигурах понадобятся для конструирования теорий и

моделей явлений материального мира. Закономерности о четырёхмерных фигурах будут

воплощены при создании инструментов и систем, функционирующих по законам

четырёхмерного мира. Знания о гиперфигурах могут стать тем ориентиром, который

укажет перспективные пути в новые промышленные и информационные технологии.

12

Литература:



Котёнок А. Н. Гиперкуб. – М., Математика

(еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), №

44/99.



Котёнок А. Н. Гиперпирамида. – М., Математика

(еженедельное приложение к газете «Первое сентября»), №

31/01.



Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для

общеобразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 1999.

13