Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №106»

г. Ростов –на-Дону

Тема урока:

«Производная и её применение»

Олейникова Людмила Александровна

Высшая квалификационная категория

Стаж работы 36 лет

г Ростов – на - Дону

2026

Конспект урока математики в 11 классе

по теме: «Производная и её применение»

Учитель Олейникова Людмила Александровна.

МБОУ «Школа №106» г. Ростов-на-Дону.

Тип урока: урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепления умений

по теме «Производная».

Цель: формирование образовательных компетенций (информационных,

коммуникативных, рефлексивных) учащихся 11 класса в предметной области

«Математика», «Физика», «Химия», «Биология», «Экономика» по теме «Производная»;

умений использовать математические методы для решения задач в различных областях

наук.

Задачи: развивать умения ориентироваться в системе знаний, анализировать и обобщать,

делать выводы; умения самооценки; умения находить и исправлять ошибки в заданиях с

намеренно допущенными ошибками.

Учебные задачи, направленные на достижение личностных результатов обучения:

•

формировать умения ясно, точно и грамотно излагать свои мысли;

•

формировать умения выстраивать аргументацию;

•

формировать умения контролировать процесс и результат учебной математической

деятельности;

•

формировать способности к эмоциональному восприятию математических

объектов и рассуждений.

Учебные задачи, направленные на достижение метапредметных результатов

обучения:

•

формировать умения видеть математическую задачу в контексте проблемной

ситуации других дисциплин;

•

формировать умения понимать и использовать математические средства

наглядности, аргументировать;

•

формировать умения видения реализации проектно-исследовательской

деятельности;

•

формировать умения выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать

необходимость их проверки;

•

формировать умения планировать и осуществлять деятельность, направленную на

решение задач исследовательского характера;

•

формировать понимание сущности алгоритмических действий и умение

действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Учебные задачи, направленные на достижение предметных результатов обучения:

•

формировать умения понимать и использовать функциональные понятия и язык

предмета (термины и символы);

•

формировать умения совершенствовать известные знания;

•

формировать умения понимать производную как важнейшую математическую

модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять

функциональный язык для описания зависимости между величинами;

•

формировать умения аргументировать свою точку зрения или строить

доказательство;

•

формировать умения устанавливать связи, различать причину и следствие;

•

формировать умения строить прогнозы, обобщать факты и делать выводы,

формулировать суждения;

•

формировать умения анализировать реальные числовые данные, осуществлять

практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и «прикидкой» в

практических расчетах;

•

формировать знания реальной зависимости между величинами.

•

Методы: проблемно – деятельностный.

Формы: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, интерактивная доска,

презентация урока, раздаточный материал, карточки с таблицей для устного счёта, лист с

текстами заданий (рабочие листы), карточки с графиками производных для самооценки

урока, цветные карточки для определения готовности ученика к ответу.

Тип урока: урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепление умений

по теме «Производная».

Ход урока.

Учитель:

-Добрый день, ребята! Я рада приветствовать вас на нашем уроке.

Эпиграфом к нашему уроку будут слова великого русского математика

Н.И. Лобачевского :

«…нет ни одной области в математике, как бы абстрактна она ни была,

которая когда-либо не окажется применимой

к явлениям действительного мира…»

Прежде чем записать тему урока, прошу обратить внимание на экран. Перед вами

стихотворение:

«В данной функции от «икс», нареченной «игреком» у=f(х)

Вы фиксируете «икс», отмечая индексом х

0

, у=f(х

0

)

Придаете вы ему тотчас приращение, х

0

+Δх

Тем у функции самой вызвав изменение, Δу=f(х

0

+Δх)-f(х

0

)

Приращений тех теперь взявши отношение,

dy

dx

Пробуждаете к нулю у Δх стремление Δx→0

Предел такого отношения вычисляется,

у

=

lim

∆х → 0

f

(

х

0

+

∆ х

)

−

f

(

х

0

)

∆ х

Он _____?_______в науке называется»

Учитель:

-О чём идёт речь в этом стихотворении и какое слово пропущено?

(Ответы обучающихся: «Производной».)

- Как вы думаете о чём пойдёт речь на уроке?

(Ответы обучающихся : «О производной»)

(Учитель на доске пишет тему урока «Производная и …..)

-Ребята, почему я написала «И» и поставила многоточие?

(Обучающиеся высказывают своё мнение)

-Действительно, сегодня мы будем работать с производными. Но тема нашего урока

заключается не только в нахождении производных. Я предлагаю небольшую разминку для

ума. Сначала выполним с вами интересное задание, затем мы вновь возвратимся к вопросу

полной формулировки темы нашего урока. И тогда вы поймёте, что тема намного шире и

глубже, чем просто нахождение производных.

Устный счёт проводится при помощи интерактивной доски.

В таблице записаны функции и их производные. Необходимо найти как можно больше пар

по принципу «функция - её производная».

(Для удобства у каждого на столе приготовлены такие же таблицы, это Лист №1, в которых

можно писать ответы.)

-Кто будет готов, поднимает руку.

Устный счёт проверяется на интерактивной доске.

1.

х

5

2.

х

3.

1

х

4.

1

5.

е

2 х

6.

х

−

3

7.

√

х

8.

sin 5 х

9.

5 х

4

10.

−

3

х

4

11.

1

2

е

2 х

12.

ln 2 x

13.

1

2

√

х

14.

5 cos х

15.

а

х

ln a

1-9, 2-4, 12-3, 11-5, 6-10, 7-13.

-Ребята, кто из вас заметил ошибку? (8-14).

(Для того чтобы привлечь внимания обучающихся, в устном счёте намеренно была

допущена ошибка. Обучающиеся должны найти её и объяснить природу, повторить и

проговорить правило, на которое была допущена эта ошибка).

-У нас осталась одна функция без пары. Это функция под № 15. Мы с вами не знаем, что

показывает формула №15-функцию или производную. Давайте рассмотрим её двояко- а)

назвать функцию, производная которой равна

а

х

ln a

? , б) назвать производную

а

х

lna ?

Учитель:

-Аристотель как-то сказал великую фразу: «Ум заключается не только в знании, но и умении

применять знания на практике». Ребята, предлагаю применить свои знания на практике.

Оказывается, что производную можно применить не только в математике. Уже всем

хорошо знаком физический смысл производной, и он не раз применялся в решении задач

при подготовке к ЕГЭ. Обучающимся предлагается повторить теорию на тему «В чём

состоит физический смысл производной?»

(скорость неравномерного движения - это производная от координаты по времени, а

ускорение –это производная скорости или вторая производная координаты материальной

точки).

Следующий этап урока .

Учащимся предлагается решить вместе с учителем задачу-прототип, предложенный в

ЕГЭ.

Учитель:

-Вы скоро закончите школу, выберете профессии, которые вам по душе. Вы будете

учиться моделировать различные жизненные, экономические и производственные

ситуации. Представителям самых разных специальностей приходится постоянно решать

задачи по выбору оптимального условия. Многим из ребят наверняка придётся

столкнуться с такими вопросами : Как, располагая определенными ресурсами,

добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности

труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Такие задачи называют задачами на оптимизацию. Я предлагаю на несколько минут

представить себя взрослыми и попробовать себя в качестве руководителя большой

строительной фирмы

-Вы будете мне помогать решать задачу (лист №2).

Задача(513288) Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на

производство

𝑥

тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5

х

2

+ 2

𝑥

+ 6) млн рублей

в год. Если продукцию завода продавать по цене

𝑝

тыс. рублей за единицу, то прибыль

фирмы (в млн рублей) за один год составит

𝑝𝑥

− (0,5

х

2

+2

𝑥

+6). Когда завод будет

построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы

прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении

𝑝

строительство завода

окупится не больше чем за 3 года?

-Решим задачу пошагово.

-Составим краткую запись задачи: ---

Стоимость строительства завода: 78 млн руб.

Годовые затраты на производство x тыс. ед. продукции: (0,5

х

2

+2x+6) млн руб.

Цена единицы продукции: p тыс. руб. Годовая прибыль: px− (0,5

х

2

+ ¿

2x+6) млн руб.

Срок окупаемости: не более 3 лет.

Требуется: найти наименьшее p, при котором завод окупится за 3 года или быстрее.

Решение.

Чтобы завод окупился за 3 года, суммарная прибыль за эти годы должна быть не меньше

стоимости строительства, т.е. 78 миллионов рублей:

3

⋅

(px−(0,5

х

2

+2x+6) ≥78; px−(0,5

х

2

+2x+6) ≥26; px≥0,5

х

2

+2x+32. Так как x> 0, то p≥0,5x+2+

32

х

Нам нужно найти наименьшее p, при котором это неравенство выполняется при

x >0. Значит надо найти точку минимума функции: f(x)=0,5x+2+

32

х

.

Найдём производную f’(x) и найдём критические точки: f′(x)=0,5−

32

х

2

. Приравняем к нулю:

0,5−

32

х

2

=¿

0,

32

х

2

=0,5;

x

2

=64,

х

1

=8,

х

2

=−

8. Так как

x>0, то проверим, является ли точка х=8

точкой минимума. При x < 8: f’(x) < 0 (функция убывает).

При x > 8: f’(x) > 0 (функция возрастает). Значит, x = 8 — точка минимума.

Вычислим минимальное значение p

Подставим x = 8 в f(x): p=0,5

⋅

8+2+

32

8

=4+2+4=10. Проверим окупаемость при p = 10

а) При p = 10 и x = 8 годовая прибыль составит

10

⋅

8−(0,5

⋅

82+2

⋅

8+6)=80−(32+16+6)=26 млн руб.

б)За 3 года: 3

⋅

26=78 млн руб. — ровно стоимость строительства.

Таким образом, при p = 10 завод окупится за 3 года.

Ответ:наименьшее значение p, при котором строительство завода окупится не более чем

за 3 года, равно 10 тыс. руб. за единицу продукции.

Следующий этап урока.

Учитель перед началом урока рассаживает учеников в группы по 3 человека, на новом

этапе работы ученики самостоятельно решают задачи на листе №3, решение можно

обсуждать группой. Как только работа будет завершена ребята договариваются, кто у

доски будет защищать решение. Как только группа закончит свою работу, один идёт к

доске и защищает решение своей задачи, в это время все остальные внимательно слушают

выступления товарищей. Перед началом работы в группах учитель даёт инструкцию:

1.

Решается задача всей группой, можно обсуждать, затем выбирается лидер, который

защищает решение группы у доски, все внимательно слушают и оценивают

решение.

2.

Всем участникам необходимо ответить на вопрос «ЧТО ОБЪЕДИНЯЕТ ВСЕ

ЭТИ ЗАДАЧИ? ЧТО ОБЩЕГО ВО ВСЕХ ЗАДАЧАХ

?»

1 пара-Финансисты.

Производная используется для исследования зависимости финансовых накоплений

предприятия от объёма выпуска.

Задача.

Зависимость финансовых накоплений от объёма выпуска выражается формулой f(x) = -

0,02x³ + 600x – 1000. Найдите при каких значениях объёма производства Х накопления

предприятия достигают максимума. Найдите максимальный объём накоплений. Сделайте

вывод.

Решение.

1. f

,

(

х

)

=¿

-0,06

х

2

+600

2

. -0,06

х

2

+600=0

х

1

=100,

х

2

= - 100

х

1

=100 – точка максимума,

3.

f(100)=39000

Вывод :

дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых

накоплений

2 пара –Экономисты.

В экономике производные используются для нахождения максимума или минимума

функции, что важно для оптимизации прибыли или минимизации затрат.

Задача.

Функция прибыли Р(х) компании, зависящая от количества произведенного товара х

задана как Р(х)= -2

х

2

+

12 х

−

10 ,

Найти объём производства, при котором прибыль

максимальна.

Решение.

x=3, f(3)=8

Вывод: при дальнейшем увеличении объёма производства прибыль компании будет

падать.

3 пара- Инженеры.

В строительстве производная используется для нахождения оптимальных

параметров конструкций, например, для минимизации веса при сохранении

прочности конструкции.

Задача.

Пусть вес конструкции W(x) зависит от толщины х по закону W(x)=

2 х

3

-15

х

2

+

36 х .

Найти толщину конструкции, при которой вес будет минимален.

Решение.

Найдём производную.

W

,

(

х

)=

6 х

2

-30х+36,

W

,

(

х

)

=

0

,

х

1

=

2 , х

2

=

3.

Х=2-точка максимума, х=3-точка минимума, при х=3 значение функции будет

минимальным, то есть вес конструкции минимален. W(x)=27.

Вывод: чем больше толщина конструкции, тем вес её меньше.

4 пара-Провизоры.

При изготовлении лекарств жизненно необходимо знать период времени, через

который лекарственные препараты полностью будут выведены из организма

человека.

Производная

используется

для

описания

скорости

изменения

концентрации лекарства в крови человека.

Задача.

Пусть С(t)- концентрация лекарства в крови в момент времени t(мин) изменяется по

закону С(t)=

С

0

∗

е

−

0 ,05 t

, где С

0

−

начальная концентрация лекарства

, t- время, прошедшее

после введения препарата. Найти скорость v(t) изменения концентрации в момент времени

t=20 мин, если

С

0

=

20

.

Решение.

Найдем скорость как производную

С

,

(

t

)

=

−

1 е

−

0 ,05 t

. Скорость изменения концентрации в

момент времени 20 мин v(20)=-1

е

−

0 ,05

∗

20

=-1

е

−

1

.

Ребята, в формуле вы видите букву «е», а

что вы о ней знаете? Чему приближенно равно числовое значение иррационального числа

«е»? А как иначе можно записать

е

−

1

?

Как вычислить

1

е

? Детям задаётся вопрос- а как вы

думаете, что может обозначать знак минус в этой формуле?( концентрация лекарства в

организме человека уменьшается).

Ответ: v(20)

≈

-0,37

5 пара - Электротехники

Производная используется для описания скорости изменения тока в электрической

цепи.. Пусть I(t) –ток в момент времени t =10с изменяется по закону I(t)=5sin(0,1t).

Найти

скорость

v(t)

изменения

тока

в

момент

времени

t=10

с.

Решение.

v(t)=

I

,

(

t

)

=

0 ,5 cos 0 ,1 t

. При t= 10с, v(10) = 0,5cos 0,1*10=0,5*cos1. (Заострить

внимание на радианную меру угла, вспомнить, чему равна градусная мера угла в 1 рад

¿ ¿

;

v(10)

≈

0,5*cos

57,3

≈ 0 ,5

∗

0 , 54

=

0.27

А/с.(

на

столе

лежат

таблицы

Брадиса).

Ответ: 0, 27 А/с

Учитель:

-Ребята, мы с вами доказали, что эти задачи показывают универсальность метода

производных и его значимость в анализе процессов различной природы. На уроке мы

вместе увидели, что производная-это мощный инструмент, который позволяет решать

широкий спектр задач в различных областях науки и техники, а также вносит неотъемлемый

вклад в развитие экономики нашей страны. Она помогает анализировать скорость изменения

различных величин, находить оптимальные решения и предсказывать поведения систем.

Ребята, вы решали интересные задачи, а теперь вы сможете сказать, почему же в теме

нашего урока стояло многоточие? Как бы вы сформулировали её теперь?

(Ребята высказывают своё мнение)

-Ребята, применение производной не заканчивается теми сферами деятельности, с

которыми мы сегодня столкнулись. Производные применяются и в физике, и в химии, и в

биологии, и в географии. Вы наверняка заметили, что у вас на столах помимо названия

групп есть фотографии учёных, которые внесли большой вклад в развитие Российской

науки, а без знания математики, и в том числе интегральных исчислений, у них бы ничего

не получилось. На стенде вы найдёте имена ученых, которые были основоположниками

дифференциального и интегрального исчисления.

Рефлексия.

Обучающимся предлагается самим оценить эффективность сегодняшнего урока. На

экране- графики двух функций и касательные к ним. На столе лежат карточки с

графиками и номерами 1 и 2. Если знания возросли с течением времени урока, то

выбирают карточку с номером графика, на котором значение производной в точке касания

положительно, а если уровень знаний остался прежним или урок вам не был интересен, то

выбираете карточку с номером того графика, на котором значение производной в точке

касания отрицательно. Найти это значение и сказать во сколько раз ваш уровень знаний

вырос. (графики приложении , Лист №4).

В начале урока вы видели эпиграф нашего урока. Как вы считаете, мы доказали с вами

слова великого русского математика Н.И.Лобачевского: «…нет ни одной области в

математике, как бы абстрактна она ни была,

которая когда-либо не окажется применимой

к явлениям действительного мира…»

Домашнее задание. (Лист №5)

Задача (№119975)

Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)= 6

t

2

−

48 t

+

17

(где x -

расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала

движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с

2) Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m=2 кг, движущуюся

прямолинейно по закону s(t) = 2t

3

-t

2

(м) при t = 2 с.

Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно

учитывать во многих областях научно-производственной деятельности, в

сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций

химических веществ. Скоростью химической реакции называется изменение

концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от

концентрации реагирующих веществ по времени.

Задача №2. Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается

зависимостью: р(t) =

1

2

t

2

+ 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 с.

Учитель:

-Ребята, и в заключение на память о нашей встрече хочу подарить вам буклет- памятку,

которую я составила сама, где я постаралась максимально собрать формулы производных.

Они вам помогут подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике и физике. На

каждом буклете есть QR-код, которым вы можете поделиться с товарищами. Спасибо за

урок!