Функционально-графический метод

Функционально-графический

метод

–

это

метод,

основанный

на

использовании графических иллюстраций. Графический метод предполагает

построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет

соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас

позволяет

аналитически

сформулировать

необходимые

и

достаточные

условия для решения поставленной задачи. Этот метод решения особенно

эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение

в

зависимости

от

параметра

и

обладает

несомненным

преимуществом

увидеть это наглядно.

Алгоритм решения задач с параметрами функционально-графическим

методом в координатной плоскости

.

1. Найти область определения функций, входящих в условие задачи.

2. Построить графики функций в координатной плоскости

.

3. Проанализировать преобразования графиков функций в зависимости от

параметра.

4. Сформулировать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Алгоритм решения задач с параметрами функционально-графическим

методом в координатной плоскости

1. Привести уравнение к виду

или

.

2. Найти область допустимых значений переменной и параметра.

3. Построить графики функций на координатной плоскости

или

.

4. Отметить линии из области допустимых значений.

5.

Проанализировать

изменения

графиков

функций

в

зависимости

от

параметра.

6. Сформулировать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

Пример1. Для

каждого

значения

параметра а найти

количество

корней

уравнения

Решение:

– линейное уравнение.

Построим в одной системе

– семейство горизонтальных прямых;

графиком является гипербола. Построим графики этих функций в

одной системе на рисунке

Ответ: если

то уравнение решений не имеет;

если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.

Пример 2. Решите уравнение

с параметром а.

Решение: Определим, какой вид принимает уравнение

при

некоторых значениях параметра а.

Если а = -2; 2; 4 или 6, то получаем соответственно

Обратим внимание на рисунок.

Коэффициент при

равен 2, отличен от нуля, значит свободный член может

принимать любые числовые значения.

Таким образом, уравнение

всегда (т.е. при любом значении

параметра а) имеет единственное решение

. Рассмотрели различные

решения

уравнения

на

рисунке,

в

результате

получили

семейство

параллельных прямы с угловым коэффициентом

точки пересечения

этих

прямых с

осью

являются

решениями исходного уравнения при

различных значениях параметра.

Ответ: если

, то

.

Пример 3. Сколько корней имеет уравнение:

–

.

Решение: рассмотрим график функции

и

–

– графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Исследуем

изменение

–

в

зависимости

от

значений параметра на рисунке.

Ответ: при

- один корень; при

– уравнение корней не имеет.

1

-1

-1

0

1

0

Пример 4. Решить систему уравнений с параметрами

и

, если

Решение:

прямая проходящая через точку (0;-3);

прямая проходящая через точку (0;-3).

Общая точка (0;-3).

Представим множество решений системы на рисунке

Ответ: (0;-3),при любых

,

,

Пример 5. Найдите значения параметра

, при которых прямая

, не

имеет общих точек с графиком функции

.

Решение:

Графиком функции

является прямая

с выколотой точкой с

, и угловым коэффициентом k=1.

Графиком функции

является прямая проходящая через точку (0;0)

Построим графики функций в координатной плоскости

на рисунке.

График функции

, не имеет общих точек с графиком функции

,

когда

значение углового

коэффициента

,

т.е.

прямые

и

0

-3

параллельны, и когда значение углового коэффициента

,

т.е. прямая

проходит через точку (2,4), не принадлежащую

графику функции

.

Ответ

.

Пример 6. Найдите значения параметра

, при которых прямая

пересекает график функции

в двух точках.

Решение:

Рассмотрим графики функций y=|x-2| при

и y=2x+2, при

. График

функции, заданный разными формулами, строится на разных участках оси

, график функции имеет разрыв в точке

.

Рассмотрим семейство прямых

, которые параллельны оси

. Из них

выберем прямые удовлетворяющие условию задачи.

1.

,

график прямая;

2.

2

0

-2

4

3.

, график принадлежит семейству прямых параллельных оси .

Исходный

график

пересекается

с

прямой

в

двух

точках,

при

значениях

,

.

Ответ:

,

0

1

2